Question

Упростить выражение 1/1+tg^2a - 1/1+ctg^2a

Answer 1

Ответ:

cos2a

Пошаговое объяснение:

$\frac{1}{1+tg^{2}a} -\frac{1}{1+ctg^{2}a} =\frac{1}{1+\frac{sin^{2}a }{cos^{2}a} } -\frac{1}{1+\frac{cos^{2}a }{sin^{2}a}} =\frac{1}{\frac{cos^{2}a+sin^{2}a }{cos^{2}a} } -\frac{1}{\frac{sin^{2}a+cos^{2}a }{sin^{2}a}} =\\\\=\frac{1}{\frac{1}{cos^{2}a} } -\frac{1}{\frac{1 }{sin^{2}a}} =cos^{2}a}-sin^{2}a}=cos2a$

Answer 2

Чтобы упростить данное выражение, нам понадобится знание о тригонометрических тождествах. Воспользуемся тождеством тангенса и котангенса:

tg^2(a) + 1 = sec^2(a)

ctg^2(a) + 1 = cosec^2(a)

Теперь заменим tg^2(a) и ctg^2(a) в исходном выражении:

1/(1 + tg^2(a)) - 1/(1 + ctg^2(a)) = 1/sec^2(a) - 1/cosec^2(a)

Далее упростим дроби, заменив sec^2(a) и cosec^2(a):

1/sec^2(a) - 1/cosec^2(a) = cos^2(a) - sin^2(a)

Теперь воспользуемся тождеством разности квадратов:

cos^2(a) - sin^2(a) = cos(2a)

Таким образом, упрощенное выражение равно cos(2a).