Question

известно что для различных натуральных чисел x, y и z справедливо равенство x+2y+3z=990. Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель трех чисел x, y и z.​

Answer 1

Ответ:

165 или 99

Пошаговое объяснение:

990 = 2*3*3*5*11

Его делители: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 15, 18, 22, 30, 33, 45, 55, 66, 90, 99, 110, 165, 198, 330, 495, 990

Сложим коэффициенты при неизвестных.

1 + 2 + 3 = 6, значит, НОД не может быть больше, чем 990:6 = 165.

Пусть x = y = z = 165, тогда

x + 2y + 3z = 165 + 2*165 + 3*165 = 6*165 = 990

Все правильно.

Если x, y и z должны быть разными числами, то возьмем

z = k, y = 2k, x = 3k, тогда

3k + 2*2k + 3k = 10k = 990, тогда k = 99.

Answer 2

Дано равенство: x + 2y + 3z = 990.

Заметим, что наибольший общий делитель трех чисел будет максимальным, когда каждое из чисел x, y и z будет делиться на этот делитель без остатка.

Разложим число 990 на простые множители: 990 = 2 × 3^2 × 5 × 11.

Поскольку коэффициенты при x, y и z являются соответственно 1, 2 и 3, чтобы наше уравнение было верным, каждый из множителей 2, 3, 5 и 11 должен делиться на x, y и z соответственно.

Наибольший общий делитель трех чисел x, y и z будет равен наименьшему из множителей 2, 3, 5 и 11, которые делятся на x, y и z. В данном случае это будет 2.

Таким образом, наибольшее значение наибольшего общего делителя трех чисел x, y и z равно 2.