Question

Написать уравнение высоты и найти длину высоты треугольника, выходящей через точку А. А(8,3) В(7,-2) С(-7,2)

Answer 1

Даны координаты вершин А(8; 3) В(7; -2) С(-7; 2)

Уравнение высоты АН и её длина.

Находим уравнение стороны BC.

Находим векторы ВС:

ВС =  (-7-7=-14; 2-(-2)=4) = (-14; 4). Модуль равен √(196 + 16) = √212.

Получаем уравнение стороны ВС:

ВС: (х - 7)/(-14) = (у + 2)/4, сократим на 2: (х - 7)/(-7) = (у + 2)/2.

2х - 14 = -7у - 14,

2х + 7у = 0,

у = (-2/7)х.

Находим площадь треугольника по формуле:

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)|.

Подставив координаты точек, получаем

S = (1/2)*|((7-8)*(2-3) - (-7-8)*(-2-3))| = (1/2)*|(1 - 75)|= 74/2 = 37 кв.ед.      

Длина AH = 2S/BC = 2*37/√212 ≈ 5,08234.

Переходим к уравнению высоты.

k(АН) = -1/k(ВС) = -1/(-2/7) = 7/2 = 3,5.

Уравнение: у = 3,5х + в. Подставим координаты точки А.

3 = 3,5*8 + в, отсюда в  = 3 - 28 = -25.

Уравнение АН: y = 3,5x -25,

или 7х - 2y - 50 = 0.

Answer 2

Чтобы найти уравнение высоты треугольника, проходящей через точку А, сначала нужно найти уравнение прямой, проходящей через точку В и С. Затем мы найдем уравнение прямой, перпендикулярной этой прямой и проходящей через точку А. И, наконец, найдем точку пересечения этих двух прямых, чтобы найти длину высоты.

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки В(7, -2) и С(-7, 2): Для этого используем формулу наклона (slope) прямой: slope = (y2 - y1) / (x2 - x1) slope = (2 - (-2)) / (-7 - 7) = 4 / (-14) = -2/7

   Теперь, зная наклон прямой и одну из точек, мы можем использовать уравнение прямой в форме "y = mx + b", где m - наклон, а b - смещение по оси y.

   Используя точку В(7, -2), мы можем подставить значения в уравнение: -2 = (-2/7) * 7 + b -2 = -2 + b b = 0

   Уравнение прямой через точки В и С: y = (-2/7)x

2. Найдем уравнение прямой, перпендикулярной этой прямой и проходящей через точку А(8, 3): Наклон перпендикулярной прямой будет обратным и противоположным: slope_perpendicular = -1 / slope = -1 / (-2/7) = 7/2

   Используя точку А(8, 3), мы можем подставить значения в уравнение: 3 = (7/2) * 8 + b 3 = 28 + b b = -25

   Уравнение перпендикулярной прямой через точку А: y = (7/2)x - 25

3. Найдем точку пересечения этих двух прямых: Решим систему уравнений: y = (-2/7)x (уравнение первой прямой) y = (7/2)x - 25 (уравнение второй прямой)

   (-2/7)x = (7/2)x - 25 (-2/7)x - (7/2)x = -25 (-4/14)x - (49/14)x = -25 (-53/14)x = -25 x = (-25 * 14) / -53 x = 350/53

   Подставим найденное значение x в уравнение второй прямой: y = (7/2) * (350/53) - 25 y = 1225/53 - 25 y = (1225 - 1325) / 53 y = -100/53

   Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты (350/53, -100/53).

4. Найдем длину высоты треугольника, проходящей через точку А(8, 3) и перпендикулярной стороне, проходящей через точку В(7, -2) и С(-7, 2): Для этого используем формулу расстояния между двумя точками: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

   Подставим значения координат в формулу: d = √((350/53 - 8)² + (-100/53 - 3)²) d = √((350/53 - 424/53)² + (-100/53 - 159/53)²) d = √((-74/53)² + (-259/53)²) d = √((5476/2809) + (67281/2809)) d = √(72757/2809) d ≈ 8.79

Таким образом, длина высоты треугольника, проходящей через точку А(8, 3), составляет примерно 8.79 единиц длины.