Question

(100 баллов) Составить неявные и параметрические уравнения плоскости, проходящей через точки С( 1; 1; 3), A(3; 2; 1), B(2; 4; 6).

Answer 1

Ответ:

Параметрические уравнения:

$x = 3 - s - 2t$

$y = 2 +2s - 1t$

$z = 1 +5s + 2t$

Неявное уравнение:

$9x-8y+5z=16$

Пошаговое объяснение:

Параметрическое уравнение

Вектор $\vec{c}$:

$C-A$

$\left(\begin{array}{ccc}1\\1\\3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{ccc}3\\2\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}-2\\-1\\2\end{array}\right)$

Вектор $\vec{b}$:

$B-A$

$\left(\begin{array}{ccc}2\\4\\6\end{array}\right) - \left(\begin{array}{ccc}3\\2\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}-1\\2\\5\end{array}\right)$

Берём, скажем, точку $A$ как отправную, и размножаем векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$, используя параметры $s$ и $t$:

$\vec{r}=A+\vec{b}\cdot s+\vec{c}\cdot t = \left(\begin{array}{ccc}3\\2\\1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}-1\\2\\5\end{array}\right)\cdot s + \left(\begin{array}{ccc}-2\\-1\\2\end{array}\right)\cdot t$

Отсюда параметрические уравнения:

$x = 3 - s - 2t$

$y = 2 +2s - 1t$

$z = 1 +5s + 2t$

Неявное уравнение

В уравнении $Ax+By+Cz=D$ коэффициенты A, B, C - это координаты вектора нормали, а D - коэффициент, сдвигающий плоскость, задаваемую вектором нормали, так, чтобы плоскость содержала в себе одну из точек из условия.

Найдём вектор нормали как векторное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{с}$:

$\left|\begin{array}{ccc}-1&2&5\\-2&-1&2\\i&j&k\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}-1&2\\-2&-1\end{array}\right|k - \left|\begin{array}{ccc}-1&5\\-2&2\end{array}\right|j + \left|\begin{array}{ccc}2&5\\-1&2\end{array}\right| i = 9i -8j+5k$

Итого

$\vec{n}=\left(\begin{array}{ccc}9\\-8\\5\end{array}\right)$

Предварительный вид неявного уравнения:

$9x-8y+5z=D$

Найдём D, подставив какую-нибудь из точек из условия, скажем, С:

$9\cdot 1-8\cdot 1+5\cdot 3=9-8+15=16$

Итого:

$9x-8y+5z=16$

Answer 2

Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки C(1; 1; 3), A(3; 2; 1) и B(2; 4; 6), можно использовать неявное и параметрическое уравнения.

1. Неявное уравнение плоскости:

Пусть (x, y, z) - произвольная точка на плоскости.

Вектор, направленный от точки A до точки B: AB = B - A = (2 - 3, 4 - 2, 6 - 1) = (-1, 2, 5). Вектор, направленный от точки A до точки C: AC = C - A = (1 - 3, 1 - 2, 3 - 1) = (-2, -1, 2).

Векторное произведение векторов AB и AC даст нормальный вектор плоскости:

N = AB × AC = (-1, 2, 5) × (-2, -1, 2).

Вычислим векторное произведение:

N = ((2 * 2) - (5 * -1), (-1 * 2) - (5 * -2), (-1 * -1) - (2 * 2)) = (9, 8, -1).

Таким образом, нормальный вектор плоскости равен N = (9, 8, -1).

Используя найденный нормальный вектор и одну из заданных точек (например, точку A), можно записать неявное уравнение плоскости:

9(x - 3) + 8(y - 2) - (z - 1) = 0.

Таким образом, неявное уравнение плоскости, проходящей через точки C(1; 1; 3), A(3; 2; 1) и B(2; 4; 6), равно:

9(x - 3) + 8(y - 2) - (z - 1) = 0.

2. Параметрическое уравнение плоскости:

Параметрическое уравнение плоскости можно записать следующим образом:

x = 3 + 9t, y = 2 + 8t, z = 1 - t,

где t - параметр.

Таким образом, параметрическое уравнение плоскости, проходящей через точки C(1; 1; 3), A(3; 2; 1) и B(2; 4; 6), имеет вид:

x = 3 + 9t, y = 2 + 8t, z = 1 - t.