Question

Из некоторого числа вычли сумму его цифр, из полученного числа вычли сумму его цифр и т.д. После одиннадцатого вычитания впервые получили 0. Каким могло быть первое число?

Answer 1

Ответ:

любое от 100 до 109

Пошаговое объяснение:

Изучим операцию вычитания суммы цифр из числа.

1) Для однозначных чисел она дает 0.

2) Для двузначных она дает для числа $ab$ (a обозначает первую цифру, b - вторую)

$10a+b-(a+b)=9a$

То есть мы берем первую цифру нашего двузначного числа и умножаем ее на 9. Например 38 -> 27.

Из этих двух свойств понятно, что непосредственно перед нулем шло однозначное число, причем кратное 9. То есть это и было 9. До этого шли двузначные числа, но они все были результатом этой операции, а потому должны быть кратны 9. Таким образом, очень легко восстанавливаем конец этой последовательности:

0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

(в обратном порядке)

Следующее число должно быть либо 90, либо 99. Ясно что оно получалось из трехзначного числа. Но первые десять трехзначных чисел дают 99, а следующие уже слишком большие. Из этого заключаем, что последовательность заканчивается так:

99 и любое число от 100 до 109.

Таким образом ответ на вопрос: любое от 100 до 109.

Answer 2

Давайте рассмотрим процесс вычитания пошагово, чтобы найти ответ.

Пусть исходное число равно Х. Первое вычитание составляет число X - S(X), где S(X) обозначает сумму цифр числа X. Затем полученное число вычитается снова: (X - S(X)) - S(X - S(X)). Мы продолжаем этот процесс, вычитая сумму цифр предыдущего числа каждый раз, пока не получим 0.

Поскольку процесс заканчивается после одиннадцатого вычитания, у нас есть следующая цепочка:

(X - S(X)) - S(X - S(X)) - S(X - S(X) - S(X - S(X))) - ... - S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(X)))))))))) = 0

Мы заметим, что при каждом вычитании сумма цифр уменьшается или остается той же, поэтому можно сделать вывод, что каждое следующее число в цепочке должно быть меньше предыдущего.

Теперь давайте рассмотрим возможные варианты первого числа Х:

1. Если Х - однозначное число (0-9), то результат первого вычитания будет отрицательным или отличным от нуля, поскольку мы вычитаем сумму одной цифры из самой цифры.
2. Если Х - двузначное число, например AB, где A - десятки, B - единицы, то первое вычитание будет равно AB - (A + B) = 10A + B - (A + B) = 9A, что является однозначным числом. Для этого случая, чтобы после одиннадцатого вычитания получить 0, число А должно быть равным 1, иначе полученное число не будет однозначным.
3. Если Х - трехзначное число, например ABC, то первое вычитание будет равно ABC - (A + B + C) = 100A + 10B + C - (A + B + C) = 99A + 9B, что также является трехзначным числом. Для этого случая, чтобы после одиннадцатого вычитания получить 0, число A должно быть равным 1, иначе полученное число не будет трехзначным.

Таким образом, первое число может быть 9, 18 или 108.