Question

Математика срочно!!! Исследуйте последовательность на ограниченность: sin6/6; −sin7/7; sin8/8; −sin9/9... заданная последовательность (выберите один вариант): неограниченная ограничена снизу ограничена сверху ограниченная

Answer 1

$\{a_n\}=(-1)^{n+1}\dfrac{sin(n+5)}{n+5}\\ -1=-1*1\leq (-1)^{n+1}sin(n+5)\leq 1*1=1$

$( \dfrac{1}{n+5})'=- \dfrac{1}{(n+5)^2}$, значит $\dfrac{1}{n+5}$ монотонно убывает.

Тогда $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{n+5}\leq \dfrac{1}{n+5} \leq \dfrac{1}{1+5}\; \forall\;n\in N\\ 0\leq \dfrac{1}{n+5}\leq \dfrac{1}{6}$

Значит $-\dfrac{1}{6}\leq a_n\leq \dfrac{1}{6} \;\forall\;n\in N$, т.е. последовательность ограниченная

Answer 2

Для исследования ограниченности данной последовательности, нужно вычислить её члены и посмотреть, будут ли они ограничены.

Последовательность: sin(6)/6; -sin(7)/7; sin(8)/8; -sin(9)/9; ...

Заметим, что значение синуса находится в интервале [-1, 1], так как sin(x) всегда находится между -1 и 1 для любого значения x.

1. sin(6)/6: sin(6) примерно равно 0.09 (приближенно) 0.09/6 ≈ 0.015

2. -sin(7)/7: -sin(7) примерно равно -0.12 (приближенно) -0.12/7 ≈ -0.017

3. sin(8)/8: sin(8) примерно равно 0.99 (приближенно) 0.99/8 ≈ 0.124

4. -sin(9)/9: -sin(9) примерно равно -0.41 (приближенно) -0.41/9 ≈ -0.045

Мы видим, что все значения членов последовательности лежат в интервале от -0.045 до 0.124. Это означает, что последовательность ограничена сверху и снизу. Таким образом, правильный ответ: последовательность ограничена.