Question

2117. Дифференциальное уравнение Просто решить tds-2sdt=t³lntdt

Answer 1

$tds=(t^3lnt+2s)dt\\ \dfrac{1}{t^2}ds+\dfrac{-t^3lnt-2s}{t^3}dt=0\\ \left[(\dfrac{1}{t^2})'_t=(\dfrac{-t^3lnt-2s}{t^3})'_s\right]\\ u(s,t)=\int \dfrac{1}{t^2}ds=\dfrac{s}{t^2}+\phi(t)\\ \dfrac{-2s}{t^3}+\phi'(t)=-lnt-\dfrac{2s}{t^3}=>\phi'(t)=-lnt\\ \phi(t)=-\int lnt dt=-(tlnt-\int 1dt)=-tlnt+t+C1\\ \dfrac{s}{t^2}-tlnt+t=C$

Осталось проверить, является ли t=0 решением диффура: не является, т.к. 0 не входит в область определения функции $lnt$, а значит все решения дифф. ур. задаются вышеприведенным соотношением.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения сначала определим его вид:

tds - 2sdt = t³ln(t)dt.

Здесь "s" является неизвестной функцией s(t), которую нужно найти. Чтобы решить уравнение, воспользуемся методом разделения переменных.

1. Перенесем все члены, содержащие "s" в левую часть уравнения, а все члены, содержащие "t", в правую часть:

tds - 2sdt - t³ln(t)dt = 0.

2. Теперь вынесем "s" за скобки и "dt" за знак дифференциала:

s(td - 2dt) - t³ln(t)dt = 0.

3. Разделим обе части уравнения на выражение в скобках:

s = t³ln(t) / (td - 2dt).

4. Мы получили уравнение для функции s(t):

s(t) = t³ln(t) / (td - 2dt).

Таким образом, решение дифференциального уравнения задано выражением: s(t) = t³ln(t) / (td - 2dt).