Question

Решите уравнения: а) ||х-12|-2|=5 б) |||2х+5|+2|-5|=6

Answer 1

а) ||х - 12| - 2| = 5

|х - 12| - 2 = -5        или        |х - 12| - 2 = 5

|х - 12| = -3             или         |х - 12| = 7

нет корней,          или        х - 12 = -7,          или        х - 12 = 7

x = 5   или   x = 19

Ответ: 5; 19.

б) |||2х + 5| + 2| - 5| = 6

||2х + 5| + 2| - 5 = -6      или     ||2х + 5| + 2| - 5 = 6

||2х + 5| + 2|  = -1 -- ∅   или     ||2х + 5| + 2| = 11

|2х + 5| + 2 = -11            или      |2х + 5| + 2 = 11

|2х + 5| = -13 -- ∅         или      |2х + 5| = 9

2х + 5 = -9                    или      2х + 5 = 9

2x = -14       или      2х = 4

x = -7           или      х = 2

Ответ: -7; 2.

Answer 2

Давайте решим данные уравнения по очереди:

а) ||х-12|-2|=5

Для начала, давайте рассмотрим два случая:

1. Выражение внутри внешних модулей (||) положительное: х - 12 > 0

Тогда уравнение будет иметь вид: |х - 12 - 2| = 5 |х - 14| = 5

Теперь рассмотрим два подслучая:

1.1. х - 14 > 0

Тогда уравнение перепишется без модуля: х - 14 = 5

Теперь решим уравнение: х = 5 + 14 х = 19

1.2. х - 14 < 0

В этом случае модуль меняет знак на противоположный: -(х - 14) = 5

Теперь решим уравнение: -х + 14 = 5 -х = 5 - 14 -х = -9

2. Выражение внутри внешних модулей (||) отрицательное: х - 12 < 0

Тогда уравнение будет иметь вид: |-(х - 12) - 2| = 5 |-х + 12 - 2| = 5 |-х + 10| = 5

Теперь рассмотрим два подслучая:

2.1. -х + 10 > 0

Тогда уравнение перепишется без модуля: -х + 10 = 5

Теперь решим уравнение: -х = 5 - 10 -х = -5

2.2. -х + 10 < 0

В этом случае модуль меняет знак на противоположный: -(-х + 10) = 5

Теперь решим уравнение: х - 10 = 5 х = 5 + 10 х = 15

Таким образом, мы получили четыре возможных решения: х = 19, х = -9, х = -5, х = 15.

б) |||2х+5|+2|-5|=6

Рассмотрим три случая:

1. Выражение внутри самого внутреннего модуля (|||) положительное: 2х + 5 > 0

Тогда уравнение будет иметь вид: ||2х + 5 + 2| - 5| = 6 |2х + 7 - 5| = 6 |2х + 2| = 6

Теперь рассмотрим два подслучая:

1.1. 2х + 2 > 0

Тогда уравнение перепишется без модуля: 2х + 2 = 6

Теперь решим уравнение: 2х = 6 - 2 2х = 4 х = 4 / 2 х = 2

1.2. 2х + 2 < 0

В этом случае модуль меняет знак на противоположный:

• (2х + 2) = 6

Теперь решим уравнение: -2х - 2 = 6 -2х = 6 + 2 -2х = 8 х = 8 / -2 х = -4

2. Выражение внутри самого внутреннего модуля (|||) равно нулю: 2х + 5 = 0

Тогда уравнение примет вид: ||2х + 5 + 2| - 5| = 6 |2х + 7 - 5| = 6 |2х + 2| = 6

Теперь решим уравнение: |2 * 0 + 2| = 6 |2| = 6

Так как модуль числа 2 равен 2, что не равно 6, то это уравнение не имеет решений в данном случае.

3. Выражение внутри самого внутреннего модуля (|||) отрицательное: 2х + 5 < 0

Тогда уравнение будет иметь вид: ||- (2х + 5) + 2| - 5| = 6 |-(2х + 5) + 2| = 6 |-2х - 3| = 6

Теперь рассмотрим два подслучая:

3.1. -2х - 3 > 0

Тогда уравнение перепишется без модуля: -2х - 3 = 6

Теперь решим уравнение: -2х = 6 + 3 -2х = 9 х = 9 / -2 х = -4.5

3.2. -2х - 3 < 0

В этом случае модуль ничего не меняет: -(-2х - 3) = 6

Теперь решим уравнение: 2х + 3 = 6 2х = 6 - 3 2х = 3 х = 3 / 2 х = 1.5

Таким образом, мы получили три возможных решения: х = 2, х = -4.5, х = 1.5. Однако, не забывайте, что мы предварительно проверили, что уравнение с равным нулю внутренним модулем не имеет решений.