Question

N^n/(n+1)!исследовать на сходимость ряда​

Answer 1

По формуле Стирлинга $(n+1)! \sim \sqrt{2\pi (n+1)}\left(\dfrac{n+1}{e}\right)^{n+1}$

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{n^n}{(n+1)!}} =\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{\sqrt{2\pi (n+1)}\left(\dfrac{n+1}{e}\right)^{n+1}}}=\\ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\dfrac{n+1}{e}\sqrt[n]{\sqrt{2\pi (n+1)}\left(\dfrac{n+1}{e}\right)}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\cdot e}{(n+1)\cdot1}}=e\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=e>1$

Тогда ряд расходится по признаку Коши

Вариант 2

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}(n+1)!}{(n+2)!n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)(n+1)^{n}}{(n+2)n^n}=\\ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n+2}\cdot\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e>1$

Тогда ряд расходится по признаку Даламбера

Answer 2

Для исследования на сходимость ряда, представленного выражением N^n/(n+1)!, где N - некоторая постоянная, а n принимает значения от 1 до бесконечности, мы можем использовать тест сравнения или тест отношения.

1. Тест сравнения: Пусть a_n = N^n/(n+1)!, тогда берем бесконечно убывающий ряд b_n и исследуем сходимость ряда a_n относительно b_n. Если ряд b_n сходится, и если a_n <= b_n для всех n, то a_n тоже сходится. А если ряд b_n расходится, и если a_n >= b_n для всех n, то a_n также расходится.

Давайте рассмотрим ряд b_n = 1/n!: lim(n -> ∞) (a_n / b_n) = lim(n -> ∞) (N^n / (n+1)! / (1/n!)) = lim(n -> ∞) (N^n * n! / (n+1) * (1/n!)) = lim(n -> ∞) (N^n / (n+1)).

Теперь давайте разделим числитель и знаменатель на n^n: lim(n -> ∞) (N^n / (n+1)) = lim(n -> ∞) ((N/n)^n / (n/n + 1/n)) = lim(n -> ∞) ((N/n)^n / (1 + 0)) = lim(n -> ∞) ((N/n)^n) = 0.

Таким образом, ряд a_n = N^n/(n+1)! сходится при любом значении N.

2. Тест отношения: Теперь рассмотрим тест отношения, чтобы подтвердить сходимость ряда.

Для этого возьмем бесконечный ряд b_n = 1/n! и рассмотрим предел отношения a_n и b_n: lim(n -> ∞) (a_n / b_n) = lim(n -> ∞) (N^n / (n+1)! / (1/n!)) = lim(n -> ∞) (N^n * n! / (n+1) * (1/n!)) = lim(n -> ∞) (N^n / (n+1)).

Теперь давайте разделим числитель и знаменатель на n^n: lim(n -> ∞) (N^n / (n+1)) = lim(n -> ∞) ((N/n)^n / (n/n + 1/n)) = lim(n -> ∞) ((N/n)^n / (1 + 0)) = lim(n -> ∞) ((N/n)^n) = 0.

Так как предел отношения a_n и b_n равен 0, и ряд b_n сходится (ряд 1/n! сходится как ряд экспоненты), по тесту отношения ряд a_n = N^n/(n+1)! также сходится при любом значении N.

Таким образом, ряд N^n/(n+1)! сходится для любого положительного значения N.