Question

10 класс Решите тригонометрическое уравнение 8cos^2 5x-4cos^2 10x=1

Answer 1

Применим формулу понижения степеней

$8\cdot \dfrac{1+\cos10x}{2}-4\cos^210x=1\\ \\ 4+4\cos10x-4\cos^210x=1\\ \\ 4\cos^210x-4\cos10x-3=0$

Решаем как квадратное уравнение относительно cos10x

$D=(-4)^2-4\cdot4\cdot (-3)=4^2\cdot (1+3)=4^2\cdot 2^2\\\sqrt{D}=4\cdot 2=8$

$\cos10x=\dfrac{4+8}{2\cdot 4}>1$ - уравнение решений не имеет.

$\cos10x=\dfrac{4-8}{2\cdot4}=-\dfrac{1}{2}\\ \\\\ 10x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ x=\pm\dfrac{\pi}{15}+\dfrac{\pi n}{5},n \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения, мы можем использовать замену. Пусть u = cos(5x). Тогда уравнение примет вид:

8u^2 - 4cos^2(10x) = 1.

Используя тригонометрическую идентичность cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1, мы можем выразить cos^2(10x) через u:

cos^2(10x) = (1 + cos(20x)) / 2.

Теперь мы можем переписать уравнение с использованием u:

8u^2 - 4(1 + cos(20x)) / 2 = 1.

Упростим его:

8u^2 - 2(1 + cos(20x)) = 1.

8u^2 - 2 - 2cos(20x) = 1.

8u^2 - 2cos(20x) = 3.

Теперь заменим u^2 на cos^2(5x):

8cos^2(5x) - 2cos(20x) = 3.

Таким образом, наше уравнение свелось к уравнению с использованием косинусов:

8cos^2(5x) - 2cos(20x) - 3 = 0.

Это уравнение может быть решено с использованием методов решения тригонометрических уравнений, например, методом подстановки или графическим способом. Однако точное аналитическое решение данного уравнения достаточно сложно найти.