Question

Интегралы. Решить несвойственный интеграл или установить его расхождение - интеграл от e до бесконечности dx/(x(lnx)^2)

Answer 1

$\int\limits_e^\infty\dfrac{dx}{x\ln^2(x)}=\lim\limits_{A\rightarrow\infty}\int\limits_e^A\dfrac{dx}{x\ln^2(x)}=\begin{vmatrix}u=\ln(x)\\du=\frac{1}{x}dx\\a=1\,\,\,\,\,b=A\end{vmatrix}=\lim\limits_{A\rightarrow\infty}\int\limits_1^A\dfrac{du}{u^2}=\\=\lim\limits_{A\rightarrow\infty}\Big(-\dfrac{1}{u}\Big)\Big|^A_1=1$

Answer 2

Для решения несвойственного интеграла $\int_{e}^{\infty} \frac{dx}{x(\ln{x})^2}$, сначала проанализируем его на сходимость.

Интеграл $\int_{e}^{\infty} \frac{dx}{x(\ln{x})^2}$ является несвойственным, так как верхний предел интегрирования бесконечность. Для исследования сходимости этого интеграла, рассмотрим поведение подынтегральной функции при $x$ стремящемся к бесконечности.

Мы знаем, что при $x \rightarrow \infty$ логарифмическая функция растет медленнее, чем любая положительная степенная функция $x^a$ с $a > 0$. То есть $\ln{x}$ будет расти медленнее, чем любая положительная степенная функция $x^a$. Это означает, что знаменатель подынтегральной функции $x(\ln{x})^2$ будет расти быстрее, чем только $x^1$, и поэтому интеграл расходится.

Таким образом, несвойственный интеграл $\int_{e}^{\infty} \frac{dx}{x(\ln{x})^2}$ расходится.