Question

1. Найти частное решение y(x) дифференциального урав- нения у'+x*y=y, удовлетворяющее начальному условиюу(0) = 2.​

Answer 1

y' = y(1-x) - диф. уравнение с разделяющимися переменными

∫dy/y = ∫dx/(1-x)

ln|y| = -ln|1-x| + lnC

y = C/(1-x)

Находим частное решение, подставляя начальные условия

2 = C / (1-0)

C = 2

y = 2/(1-x)

Answer 2

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения у'+x*y=y с начальным условием у(0) = 2, мы будем использовать метод вариации постоянной.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения (без правой части): y'+xy = 0

Это уравнение можно решить с помощью разделения переменных: dy/y = -xdx Интегрируем обе стороны: ∫(1/y)dy = ∫(-x)dx ln|y| = -x^2/2 + C1

где С1 - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 2: Теперь, чтобы найти частное решение, предположим, что решение имеет вид: y(x) = u(x) * v(x)

где u(x) - произвольная функция, которая содержит свободные параметры, а v(x) - решение однородного уравнения y'+xy = 0. Таким образом, v(x) = exp(-x^2/2 + C1) = exp(-x^2/2) * C1, где C1 - некоторая постоянная.

Шаг 3: Подставим найденное выражение для v(x) в уравнение у'+xy=y: (u'v + uv') + x(uv) = u'v + u*(v' + xv) = u'v + uv' + xuv = y

Шаг 4: Теперь выберем функцию u(x) так, чтобы уравнение u'v + uv' стало равным нулю, и останется только xu*v = y.

Для этого выберем u(x) = 1. Тогда u' = 0 и уравнение сводится к: x * 1 * v = y x * v = y

Шаг 5: Теперь найдем v(x) из уравнения x*v = y: v(x) = y/x

Шаг 6: Подставим выражение для v(x) в уравнение y(x) = u(x) * v(x): y(x) = 1 * (y/x) = y/x

Шаг 7: Применяем начальное условие y(0) = 2: y(0) = 2/x 2 = 2/0

Таким образом, решение не удовлетворяет начальному условию, исходное дифференциальное уравнение у'+x*y=y не имеет частного решения, удовлетворяющего данному начальному условию.