Question

Найдите остаток от деления многочлена P(x) = 3x72 – 4x36 + 7x5 + 15 на линейный многочлен (x – 1)

Answer 1

По теореме Безу: остаток от деления многочлена P(x) на (x-1) :

$P(1)=3\cdot 1^{72}-4\cdot 1^{36}+7\cdot 1^5+15=21$

Ответ: 21.

Answer 2

Для нахождения остатка от деления многочлена P(x) на линейный многочлен (x – 1), воспользуемся теоремой о делении многочленов.

Теорема о делении многочленов: Пусть P(x) — делимый многочлен, а D(x) — делитель (ненулевой многочлен). Тогда существуют единственные многочлены Q(x) (частное) и R(x) (остаток) такие, что P(x) = Q(x) * D(x) + R(x), причем степень R(x) меньше степени D(x).

Таким образом, нам нужно поделить многочлен P(x) на (x – 1) и найти остаток.

Мы можем воспользоваться схемой Горнера для упрощения деления. Схема Горнера помогает упростить деление многочленов, особенно в случае деления на линейный многочлен.

Представим многочлен P(x) в виде схемы Горнера:

markdownCopy code
3    0    0    0    0    0    0    -4    0    0    0    0    0    0    7    0    0    0    0    0    15
|——————————————————————————————————————————————————————————————————————
          3   -3   3    -3   3    -3   3    -1   1    -1   1    -1   1    6   1    1    1    1    1
|   3   0   0   0   0   0   0   -4   4   -4   4   -4   4   -4   7   -6   6   -6   6   -6   6   -6   15

Здесь каждая стрелка указывает на умножение предыдущего значения исходного многочлена (вверху) на значение делителя (внизу). В самом нижнем ряду получаем остаток, который равен 15.

Таким образом, остаток от деления многочлена P(x) на (x – 1) равен 15.