Question

Решить диф уравнение y''-3y'+2y=e^(3x)(x^2+x) Очень срочно, помогите пожалуйста ((

Answer 1

Ответ:

y''-2y'-3=0; k²-2k-3=0; k₁=-1; k₂=3

y₀₀=Ae^(-x)+Be^(3x)

{A'e^(-x)+B'e^(3x)=0

{-A'e^(-x)+3B'e^(3x)=x+e^(3x)

Δ=4e^(2x)

Δ₁=-xe^(3x)-e^(6x)

A'=-xe^x/4-e^(4x)/4; A=(-1/4)e^(x)(x-1)-e^(4x)/16+C₁

Δ₂=xe^(-x)+e^(2x)

B'=xe^(-3x)/4+1/4; B=-e^(-3x)(1-3x)/36+x/4+C₂

y=C₁e^(-x)+C₂e^(3x)+(1-x)/4-e^(3x)/16+(3x-1)/36+xe^(3x)/4=....можно еще преобразовать.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения сначала найдем общее решение однородного уравнения y'' - 3y' + 2y = 0, а затем частное решение неоднородного уравнения y'' - 3y' + 2y = e^(3x)(x^2 + x).

1. Найдем общее решение однородного уравнения: Для однородного уравнения характеристическое уравнение будет иметь вид: r^2 - 3r + 2 = 0. Факторизуем его: (r - 1)(r - 2) = 0. Таким образом, корни характеристического уравнения: r1 = 1 и r2 = 2.

Общее решение однородного уравнения имеет вид: y_h(x) = C1e^(r1x) + C2e^(r2x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Таким образом, y_h(x) = C1e^x + C2e^(2x).

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения: Для нахождения частного решения воспользуемся методом вариации постоянных.

Предположим, что частное решение имеет вид: y_p(x) = (Ax^2 + Bx) * e^(3x), где A и B - неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

Вычислим производные y_p(x): y_p'(x) = (2Ax + B) * e^(3x) + (Ax^2 + Bx) * 3 * e^(3x), y_p''(x) = (2A + 6Ax + B) * e^(3x) + (2Ax + B) * 3 * e^(3x) + (Ax^2 + Bx) * 9 * e^(3x).

Подставим y_p(x), y_p'(x) и y_p''(x) в исходное уравнение: [(2A + 6Ax + B) * e^(3x) + (Ax^2 + Bx) * 9 * e^(3x)] - 3 * [(2Ax + B) * e^(3x) + (Ax^2 + Bx) * 3 * e^(3x)] + 2 * (Ax^2 + B*x) * e^(3x) = e^(3x) * (x^2 + x).

Упростим уравнение: (2A + 6Ax + B - 6Ax - 3B) * e^(3x) + (9Ax^2 + 2Bx - 6Ax^2 - 6B*x) * e^(3x) = e^(3x) * (x^2 + x).

Сгруппируем слагаемые: (6Ax - 6Ax) * e^(3x) + (9Ax^2 - 6Ax^2) * e^(3x) + (B - 3B) * e^(3x) + 2B*x * e^(3x) = e^(3x) * (x^2 + x).

Теперь упростим дальше: 0 + 3Ax^2 * e^(3x) - 2B * e^(3x) + 2Bx * e^(3x) = e^(3x) * (x^2 + x).

Уравнение должно выполняться для всех x, поэтому соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны: 3Ax^2 = x^2, => A = 1/3, -2B + 2Bx = x, => B = -1.

Таким образом, частное решение имеет вид: y_p(x) = (1/3 * x^2 - x) * e^(3x).

3. Найдем общее решение неоднородного уравнения: Общее решение неоднородного уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x), где y_h(x) = C1e^x + C2e^(2x), а y_p(x) = (1/3 * x^2 - x) * e^(3x).

Теперь вы можете подставить начальные условия, если они заданы, чтобы определить значения постоянных C1 и C2. Если у вас есть дополнительные условия, пожалуйста, укажите их, чтобы мы могли дать более точное решение.