Question

Три числа, дающие в сумме 21, составляют геометрическую прогрессию. Если к ним соответственно прибавить 2, 3 и 1, то образованные числа будут давать арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

Answer 1

3, 6, 12.
Проверка:
3, 6, 12 (*2) - геометрическая прогрессия.
3+2, 6+3, 12+1 = 5, 9, 13 (+4) - арифметическая прогрессия.
3+6+12=21.

Answer 2

Пусть три числа в геометрической прогрессии имеют вид a, ar и ar^2 (где a - первый член, r - знаменатель прогрессии).

Из условия задачи, мы знаем, что их сумма равна 21: a + ar + ar^2 = 21 ...........(1)

Теперь, если к каждому из этих чисел прибавить 2, 3 и 1 соответственно, получим числа a+2, ar+3 и ar^2+1, которые образуют арифметическую прогрессию.

То есть, (ar^2+1) - (ar+3) = (ar+3) - (a+2)

Упростим это: ar^2 - ar - 2 = ar - a + 1

Теперь приведем все члены уравнения в порядок и решим полученное квадратное уравнение:

ar^2 - 2ar - (ar - a + 3) - 1 = 0

ar^2 - 2ar - ar + a - 4 = 0

ar^2 - 3ar + a - 4 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Мы знаем, что сумма корней квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 равна -b/a, а их произведение равно c/a.

В нашем случае, сумма корней равна 3/a, а произведение равно (a-4)/a.

Значит, у нас есть система уравнений:

a + ar + ar^2 = 21 3/a = a - 4

Решим второе уравнение относительно a:

3 = a^2 - 4a

a^2 - 4a - 3 = 0

(a - 3)(a + 1) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения a: a = 3 и a = -1.

Теперь найдем значения r для каждого случая:

1. При a = 3:

3 + 3r + 3r^2 = 21

3r^2 + 3r - 18 = 0

r^2 + r - 6 = 0

(r + 3)(r - 2) = 0

Таким образом, r = -3 или r = 2.

Таким образом, первый случай дает нам три числа в геометрической прогрессии: 3, -3 и 9.

2. При a = -1:

-1 - r + r^2 = 21

r^2 - r - 22 = 0

(r + 4)(r - 5) = 0

Таким образом, r = -4 или r = 5.

В этом случае, числа в геометрической прогрессии: -1, -5 и 25.

Теперь, найдем числа, которые получим прибавлением 2, 3 и 1 к каждому из чисел:

1. При a = 3:

3 + 2 = 5 -3 + 3 = 0 9 + 1 = 10

2. При a = -1:

-1 + 2 = 1 -5 + 3 = -2 25 + 1 = 26

Итак, два набора чисел, которые удовлетворяют условиям задачи, это: 5, 0, 10 и 1, -2, 26.