Question

Тело движется по прямой по закону x(t) = − 1 /3 t^3 + 3t^2 + 8t + 1 . Найдите наименьшую и наибольшую скорость тела при 1 ≤ t ≤ 4.

Answer 1

Ответ:

================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения наименьшей и наибольшей скорости тела в заданном интервале [1, 4], нам нужно вычислить производную функции x(t) по времени t и найти экстремумы на этом интервале.

1. Найдем производную функции x(t): x'(t) = d/dt (-1/3 t^3 + 3t^2 + 8t + 1) x'(t) = -t^2 + 6t + 8

2. Найдем критические точки, равные нулю производной: -t^2 + 6t + 8 = 0

Для нахождения корней уравнения, воспользуемся квадратным уравнением: t = (-6 ± √(6^2 - 4*(-1)8)) / (2(-1)) t = (-6 ± √(36 + 32)) / (-2) t = (-6 ± √68) / (-2) t = (-6 ± 2√17) / (-2) t = 3 ± √17

Таким образом, получаем две критические точки t₁ ≈ 3 - √17 и t₂ ≈ 3 + √17.

3. Теперь определим значения скорости в критических точках и на концах интервала [1, 4]:

• Для t = 1: x'(1) = -1^2 + 6*1 + 8 = 3.
• Для t = 4: x'(4) = -4^2 + 6*4 + 8 = -8.
• Для t = 3 - √17: x'(3 - √17) ≈ -0.358 (возможно уточнение при расчетах).
• Для t = 3 + √17: x'(3 + √17) ≈ 10.358 (возможно уточнение при расчетах).

4. Найдем наименьшую и наибольшую скорость: Наименьшая скорость: Минимальное значение скорости будет в одной из критических точек или на границе интервала [1, 4]. Так как значения скорости при t = 1, t ≈ 3 - √17 и t = 4 положительны, а значение при t ≈ 3 + √17 является наибольшим, наименьшая скорость будет при t = 1, и она равна 3.

Наибольшая скорость: Максимальное значение скорости будет в одной из критических точек или на границе интервала [1, 4]. Так как значения скорости при t = 1 и t = 4 отрицательны, а значение при t ≈ 3 + √17 является наибольшим, наибольшая скорость будет при t ≈ 3 + √17, и она равна приблизительно 10.358.

Таким образом, наименьшая скорость тела при 1 ≤ t ≤ 4 составляет 3, а наибольшая скорость составляет приблизительно 10.358.