Question

По стороне основания 12 и высоте 8 найдите апофему правильной четырёхугольной пирамиды.

Answer 1

Дано:

Правильная четырёхугольная пирамида.

Сторона основания = 12.

Высота пирамиды = 8.

Найти:

Апофема пирамиды - ?

Решение:

Обозначим правильную четырёхугольную пирамиду буквами SABCD.

AB - сторона основания ⇒ AB = 12.

SO - высота пирамиды ⇒ SO = 8.

Т.к. данная пирамида - правильная четырёхугольная ⇒ основание этой пирамиды - квадрат.

Квадрат - это геометрическая фигура, у которой все стороны равны.

⇒ АВ = ВС = CD = AD = 12.

Обозначим точку К на стороне ВС.

Проведём апофему SK из вершины пирамиды S к точке К.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины этой пирамиды.

Апофема, проведённая из вершины правильной пирамиды к стороне основания этой пирамиды, делит эту сторону на две равные части.

Катет прямоугольного треугольника, образованный апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины стороны основания правильной пирамиды.

ОК - образованный катет ⇒ ОК = 1/2AB(CD, AD, BC) = 12/2 = 6.

ΔSOK - прямоугольный, так как SO - высота пирамиды.

Найдём апофему SK, по теореме Пифагора: (с = а² + b², где с - гипотенуза; a, b - катеты).

SK = √(SO² + OK²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 ед.

Ответ: 10 ед.

Answer 2

Для нахождения апофемы правильной четырёхугольной пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника, образованного боковой гранью пирамиды, боковой ребро пирамиды и апофемой пирамиды.

Дано: Сторона основания (a) = 12 Высота пирамиды (h) = 8

Чтобы найти апофему (f), сначала найдем длину бокового ребра (l).

Из правильной четырёхугольной пирамиды известно, что её боковая поверхность состоит из четырех равнобедренных треугольников. Таким образом, боковое ребро пирамиды (l) равно половине диагонали основания (d).

Диагональ основания можно найти с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного стороной основания (a) и высотой пирамиды (h):

d^2 = a^2 + h^2 d^2 = 12^2 + 8^2 d^2 = 144 + 64 d^2 = 208 d = √208 d ≈ 14.42

Теперь найдем боковое ребро (l):

l = d / 2 l ≈ 14.42 / 2 l ≈ 7.21

Теперь, чтобы найти апофему (f), воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного боковой ребро пирамиды (l), апофемой пирамиды (f) и высотой пирамиды (h):

f^2 = l^2 + h^2 f^2 = 7.21^2 + 8^2 f^2 = 51.9841 + 64 f^2 = 115.9841 f = √115.9841 f ≈ 10.76

Таким образом, апофема правильной четырёхугольной пирамиды примерно равна 10.76.