Question

Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції f(x)=x^2-4x-10 яка паралельна прямій y=-6x+7

Answer 1

f(x)'=-6=2x-4

2x=-2

x=-1

y=f(x0)+f(x0)'(x-x0)

f(x0)=1+4-10=-5

y=-5-6(x+1)=-5-6x-6=-6x-11.

Answer 2

Щоб знайти рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x^2 - 4x - 10, яка паралельна прямій y = -6x + 7, нам потрібно спочатку знайти похідну функції f(x) і скористатися властивістю, що дотична до кривої має такий же нахил, як і задана пряма.

1. Знайдемо похідну функції f(x): f'(x) = 2x - 4.

2. Відомо, що нахил дотичної до графіка f(x) у точці x = a дорівнює значенню похідної f'(a). Оскільки дотична паралельна прямій y = -6x + 7, то її нахил також дорівнює -6.

3. Зробимо відповідність між нахилом дотичної і похідною: f'(a) = -6.

4. Підставимо похідну функції f(x) із кроку 1 у рівняння з кроку 3: 2a - 4 = -6.

5. Розв'яжемо отримане рівняння щодо a: 2a = -6 + 4, 2a = -2, a = -1.

6. Маємо значення x-координати точки дотику дотичної і графіка функції f(x): x = -1. Щоб знайти відповідне значення y-координати, підставимо x = -1 у функцію f(x): f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) - 10, f(-1) = 1 + 4 - 10, f(-1) = -5.

7. Отже, точка дотику дотичної і графіка функції f(x) має координати (-1, -5).

8. Для знаходження рівняння дотичної використовуємо загальне рівняння прямої у вигляді y = mx + b, де m - нахил прямої, а (x, y) - координати точки на прямій: Знаючи нахил дотичної, m = -6, і координати точки дотику (-1, -5), підставимо ці значення до рівняння: y - y₁ = m(x - x₁), y - (-5) = -6(x - (-1)), y + 5 = -6(x + 1).

9. Розкриємо дужки і спростимо рівняння: y + 5 = -6x - 6, y = -6x - 6 - 5, y = -6x - 11.

Отже, рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x^2 - 4x - 10, яка паралельна прямій y = -6x + 7, є y = -6x - 11.