Question

Найти общее решение дифференциальных уравнений: x^2y'=y(x+y)

Answer 1

$x^2y'=y(x+y)\\\left[y=xz=>y'=z+xz'\right]\\ x^2(z+xz')=xz(x+xz)\\ xz'=z^2\\ \int\dfrac{dz}{z^2}=\int\dfrac{dx}{x}\\ -\dfrac{1}{z}=lnCx\\ -\dfrac{x}{y}=lnCx=>y=-\dfrac{x}{lnCx}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения можно воспользоваться методом разделяющихся переменных. Для этого следует выполнить следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в виде, удобном для разделения переменных: x^2y' = y(x + y)

2. Разделим обе части уравнения на x^2y: y' / y = (x + y) / x^2

3. Проинтегрируем обе части уравнения по переменной x: ∫(y' / y) dx = ∫((x + y) / x^2) dx

4. Для интегрирования левой части уравнения мы можем использовать замену переменной. Пусть u = y, тогда du = y' dx. Заменим y' dx на du в уравнении: ∫(1 / u) du = ∫((x + u) / x^2) dx

5. Проинтегрируем обе части уравнения: ln|u| = ∫((x + u) / x^2) dx

6. Вычислим интеграл в правой части: ln|u| = ∫(1 / x) dx + ∫(u / x^2) dx = ln|x| - u / x + C1,

   где C1 - постоянная интегрирования.

7. Возвращаемся к переменной y, заменяя u обратно на y: ln|y| = ln|x| - y / x + C1.

8. Используем свойство логаритма для объединения ln|x| и -y/x в один логарифм: ln|y| + y / x = ln|x| + C1.

9. Возведем обе части уравнения в экспоненту: e^(ln|y| + y / x) = e^(ln|x| + C1).

10. Используя свойства экспоненты, получим: |y| * e^(y / x) = C2 * |x|,

    где C2 = e^(C1) - новая постоянная.

11. Воспользуемся тем, что |y| * e^(y / x) = y * e^(y / x), так как y может быть положительным или отрицательным: y * e^(y / x) = C2 * |x|.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения задается уравнением: y * e^(y / x) = C2 * |x|,

где C2 - произвольная постоянная.