Question

!!!!ПОМОГИТЕ, пожалуйста, СРОЧНО!!!! с полным решением и рисунком!Основанием пирамиды является квадрат. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания. Наибольшее боковое ребро пирамиды образует с высотой угол β . Расстояние от основания высоты пирамиды до середины этого ребра равно d. Найдите объём пирамиды.​​​​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Сделаем рисунок согласно условию и обозначим пирамиду МАВСD. МА⊥АВСD

 Из наклонных, проведенных из одной точки к плоскости больше та, у которой больше проекция. Поэтому наибольшее боковое ребро - ребро МС,  проекцией которого является диагональ АС основания, => точка К - середина СМ, а отрезок АК=d

Формула объема пирамиды-

V=S•h/3, где Ѕ - площадь основания пирамиды, h - её высота.

   Если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию, то высотой пирамиды является это ребро. h=MA

Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости => МА⊥АС => угол АМС=β,

∆ АМС - прямоугольный, СК=МК, => АК - медиана и равна половине гипотенузы СМ (свойство медианы прямоугольного треугольника)

СМ=2АК=2d

Высота пирамиды MА=2d•cosβ

Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом. AC=BD=MC•sinβ=2d•sinβ

   Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей, умноженной на синус угла между ними.

S(ABCD)=AC•BD•sin90°:2=(2d•sinβ)²•1:2

S(ABCD)=4d²•sin²β:2=2d²•sin²β

V=2d²•sin²β•2d•cosβ/3=4d³•sin²β•cosβ/3

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу.

Пусть ABCD - квадратное основание пирамиды, где A, B, C и D - вершины квадрата. E - середина бокового ребра AB пирамиды. H - вершина пирамиды (верхняя точка).

По условию, две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания ABCD, и угол между наибольшим боковым ребром и высотой H у пирамиды равен β.

Давайте обозначим:

• AB = a - длина стороны квадрата.
• EH = d - расстояние от основания высоты пирамиды до середины бокового ребра.

Так как E - середина бокового ребра AB, то AE = BE = a/2.

Мы знаем, что высота пирамиды H проходит через точку E и перпендикулярна плоскости ABCD. Таким образом, можно провести прямую HE, которая будет являться высотой пирамиды.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник AHE, где угол AHE равен β, AH - гипотенуза (высота пирамиды), и HE = d.

Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту пирамиды AH: $\tan(\beta) = \frac{HE}{AH}$ $AH = \frac{HE}{\tan(\beta)}$ $AH = \frac{d}{\tan(\beta)}$

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, мы используем формулу для объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot H$

Где $S_{\text{основания}}$ - площадь квадрата ABCD, $H$ - высота пирамиды.

Площадь квадрата можно выразить как $S_{\text{основания}} = a^2$.

Подставляя выражение для высоты пирамиды $H = \frac{d}{\tan(\beta)}$, получаем: $V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{d}{\tan(\beta)}$

Это и есть искомая формула для объема пирамиды.

Теперь давайте представим, что у нас есть пирамида ABCDEH, где A, B, C, D - вершины квадрата, E - середина бокового ребра AB, а H - вершина пирамиды. Мы получили прямоугольный треугольник AHE, в котором угол AHE равен β, и высота пирамиды AH равна $\frac{d}{\tan(\beta)}$.

Надеюсь, что объяснение понятно. Напоминаю, что визуализацию данной конструкции всегда можно нарисовать для лучшего понимания.