Question

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны 24 и 8 см, а высота равна 15 см. Найдите площадь полной поверхности.

Answer 1

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды:

Sполн = S₁+S₂+Sбок,

где S₁, S₂ — площади оснований

      Sбок — площадь боковой поверхности усеченной пирамиды

$S_1 = (a_{1})^2 = 24^2 = 576 \:(cm^2)\\S_2 = (a_2)^2 = 8^2 = 64\: (cm^2)$

$S_{bok}=\frac{P_1+P_2}{2}h$

$P1 = a_1\cdot 4 = 24\cdot 4 = 96 \:(cm)\\P2 = a_2\cdot4 = 8\cdot 4 = 32 \:(cm)$

$S_{bok} = \frac{96+32}{2}\cdot 15 = 64\cdot 15 = 960 \: (cm^2)$

Sполн = 576+64+960 = 1600 (см²)

Ответ: Площадь полной поверхности равна 1600 см².

Answer 2

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды можно найти, сложив площади всех её боковых граней и оснований. В данном случае у нас есть два основания: большее основание со стороной 24 см и меньшее основание со стороной 8 см.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, используя площадь трапеции. Верхнее и нижнее основания трапеции будут сторонами меньшего и большего оснований пирамиды, а боковые стороны трапеции будут боковыми рёбрами пирамиды. Высотой трапеции будет высота усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности трапеции можно вычислить по формуле:

$S_{\text{трапеции}} = \frac{h \cdot (a + b)}{2},$

где $h$ - высота трапеции (в данном случае, высота усеченной пирамиды), $a$ - длина меньшего основания (8 см), $b$ - длина большего основания (24 см).

Площадь верхнего основания равна площади круга с радиусом, равным половине длины диагонали меньшего основания. Площадь нижнего основания равна площади круга с радиусом, равным половине длины диагонали большего основания.

Площадь полной поверхности будет равна сумме площадей боковой поверхности и двух оснований:

$S_{\text{полная}} = S_{\text{трапеции}} + S_{\text{верхнего основания}} + S_{\text{нижнего основания}}.$

Давайте подставим известные значения в формулы и вычислим площадь полной поверхности:

1. Площадь боковой поверхности:

$S_{\text{трапеции}} = \frac{15 \cdot (8 + 24)}{2} = 15 \cdot 16 = 240 \, \text{см}^2.$

2. Площадь верхнего основания (круга):

$S_{\text{верхнего основания}} = \pi \cdot \left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16\pi \, \text{см}^2.$

3. Площадь нижнего основания (круга):

$S_{\text{нижнего основания}} = \pi \cdot \left(\frac{24}{2}\right)^2 = 144\pi \, \text{см}^2.$

Теперь сложим все площади:

$S_{\text{полная}} = 240 + 16\pi + 144\pi \, \text{см}^2 \approx 240 + 160\pi \, \text{см}^2.$

Итак, площадь полной поверхности усеченной пирамиды примерно равна $240 + 160\pi$ квадратных сантиметров.