Question

Якщо деяке двоцифрове число розділити на добуток його цифр, то у частці дістанемо 3, а в остачі 9. Якщо до суми квадратів цифр цього числа додати добуток його цифр, то дістанемо шукане число. Знайти це число.

Answer 1

Ответ:

63

Пошаговое объяснение:

10x+y - искомое число, где

x - 1-я цифра; y - 2-я цифра.

Система уравнений:

(10x+y-9)/xy=3; 10x+y-9=3xy; 10x+y=3xy+9

x²+y²+xy=10x+y

x²+y²+xy=3xy+9

x²+y²+xy-3xy=9

x²+y²-2xy=9

(x-y)²=9

x-y=±3

Если x-y=-3: y=x+3

10x+x+3=3x(x+3)+9

11x+3=3x²+9x+9

3x²+9x+9-11x-3=0

3x²-2x+6=0; D=4-72=-68 - при D<0 уравнение не имеет решений.

Если x-y=3; y=x-3

10x+x-3=3x(x-3)+9

11x-3=3x²-9x+9

3x²-9x+9-11x+3=0

3x²-20x+12=0; D=400-144=256

x₁=(20-16)/6=4/6=2/3 - этот корень не подходит по условию задачи.

x₂=(20+16)/6=36/6=6

y=6-3=3

Ответ: искомое число 63.

Answer 2

Давайте позначимо число як AB, де A і B - цифри десяткового запису числа.

Умова говорить нам, що якщо ми розділимо число AB на добуток його цифр (A * B), то отримаємо 3 у частці і 9 в остачі. Математично це можна записати як:

AB = 3 * (A * B) + 9.

Тепер давайте знайдемо вираз для суми квадратів цифр числа. Вона буде дорівнювати A^2 + B^2.

За умовою, якщо до суми квадратів цифр числа додати добуток його цифр, ми отримаємо шукане число, тобто:

AB = A^2 + B^2 + (A * B).

Тепер ми можемо об'єднати обидві отримані рівності:

3 * (A * B) + 9 = A^2 + B^2 + (A * B).

Відсутні члени можна перенести на один бік рівняння:

3 * (A * B) - (A * B) = A^2 + B^2 - 9.

Скористаємося розподілом для спрощення:

2 * (A * B) = A^2 + B^2 - 9.

Тепер, за умовою, ми знаємо, що 2 * (A * B) ділиться на 3 без остачі. Оскільки 2 і 3 не мають спільних множників, то A * B також має ділитись на 3 без остачі. Це можливо тільки тоді, коли одне з чисел A або B дорівнює 3.

Тепер давайте розглянемо два випадки:

Випадок 1: A = 3

Якщо A = 3, то 2 * (A * B) = 2 * (3 * B) = 6 * B. Щоб 6 * B було кратне 3, B повинно бути рівним 3 (3 * 3 = 9). Тоді числом буде 39.

Випадок 2: B = 3

Якщо B = 3, то 2 * (A * B) = 2 * (A * 3) = 6 * A. Аналогічно, щоб 6 * A було кратне 3, A повинно бути рівним 3 (3 * 3 = 9). Тоді числом буде 93.

Таким чином, можливі два варіанти чисел, які задовольняють умові: 39 і 93.