Question

Довести, що вектори а=(2; – 3; 4), b = (3; 0; 1), с = (4; – 6; 8) компланарні.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

$\left|\begin{array}{ccc}2&-3&4\\3&0&1\\4&-6&8\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{cc}0&1\\-6&8\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{cc}3&1\\4&8\end{array}\right|+4\left|\begin{array}{cc}3&0\\4&-6\end{array}\right|=12+60-72=0$

Следовательно, векторы компланарны.

Answer 2

Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або паралельній площині. Щоб довести, що вектори a, b і c є компланарними, нам потрібно переконатися, що вони лежать в одній площині або можуть бути виведені з одного базисного вектора, помноженого на константи.

Ви можете використовувати властивість лінійної незалежності векторів: якщо вектори компланарні, то вони повинні бути лінійно залежні, тобто один з них можна виразити як лінійну комбінацію інших. Давайте спробуємо виразити вектор c через вектори a і b:

c = αa + βb,

де α і β - це деякі константи. Підставляючи вектори і розв'язуючи цю систему лінійних рівнянь, ми можемо визначити, чи можливо знайти такі α і β, що рівняння виконується.

Підставимо дані значення векторів:

(4; -6; 8) = α(2; -3; 4) + β(3; 0; 1).

Отримуємо систему рівнянь:

2α + 3β = 4, -3α + 0β = -6, 4α + 1β = 8.

Друге рівняння - це -3α = -6, що рівносильно α = 2.

Підставляючи значення α у перше і третє рівняння, маємо:

2α + 3β = 4 => 2(2) + 3β = 4 => 4 + 3β = 4 => 3β = 0 => β = 0, 4α + 1β = 8 => 4(2) + 1β = 8 => 8 + β = 8 => β = 0.

Отже, ми отримали α = 2 і β = 0, що означає, що вектор c можна виразити як лінійну комбінацію векторів a і b з коефіцієнтами 2 і 0 відповідно:

c = 2a + 0b.

Це показує, що вектор c лінійно залежний від векторів a і b, тобто всі три вектори лежать в одній площині. Отже, вектори a, b і c є компланарними.