Question

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y=x^2-4x, y=0

Answer 1

Відповідь:32/3

Покрокове пояснення:

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої цими двома функціями, необхідно знайти точки їх перетину та обчислити відповідний інтеграл. Перш за все, знайдемо точки перетину:

Поставимо рівняння y = x^2 - 4x у відповідність рівнянню y = 0 і розв'яжемо їх для знаходження x-координат точок перетину:

x^2 - 4x = 0

Факторизуємо:

x(x - 4) = 0

З цього випливає, що x = 0 або x = 4.

Отже, фігура обмежена лініями y = x^2 - 4x, y = 0 і x = 0, x = 4.

Тепер ми можемо знайти площу цієї фігури за допомогою інтегралу:

Площа = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

де f(x) - верхня функція (у нашому випадку f(x) = x^2 - 4x), g(x) - нижня функція (у нашому випадку g(x) = 0), a - ліва межа (a = 0), b - права межа (b = 4).

Площа = ∫[0, 4] (x^2 - 4x - 0) dx = ∫[0, 4] (x^2 - 4x) dx = [x^3/3 - 2x^2] от 0 до 4 = (4^3/3 - 24^2) - (0/3 - 20^2) = (64/3 - 32) - 0 = 64/3 - 32 = 32/3.

Отже, площа фігури обмеженої лініями y = x^2 - 4x, y = 0 дорівнює 32/3 одиницям квадратним.