Question

З однакових на вигляд монет мудрець може знайти єдину фальшиву ,зробивши всього 4 зважування на чашкових вагах без гир. Яке найбільше число монет може бути у мудреця, якщо відомо що фальшива монета легша?

Answer 1

Ответ:

81

Пошаговое объяснение:

Предположим что имеются 3k монет. Положим по k монет на каждую из чаш. При равенстве этих двух групп фальшивая монета в третьей группе монет, а при не равном весе фальшивая монета в группе монет с меньшим весом. Если при некотором шаге взвешивания количество монет не кратно трём, то их можно дополнить минимально необходимым количеством монет уже определённых как настоящая.

Таким образом максимальное количество монет будет тогда когда при каждом шаге количество монет кратно трём.

При данных условиях это будет 3⁴=81 монеты.

Если на первом шаге взвешивания количество монет 3k-1, то группы по k, k и k-1 монет. Если же 3k-2 монеты, то группы по k-1, k-1 и k монеты.

Answer 2

Давайте розглянемо логіку розв'язку цієї задачі.

Перше зважування: Порівняти будь-які дві групи по одній монеті.

1. Якщо одна з груп має менший вага, то фальшива монета знаходиться в цій групі.
2. Якщо групи важать однаково, фальшива монета знаходиться в третій групі, яка не була зважена.

Друге зважування: Візьмемо групу з меншою вагою (якщо вони різні), або третю групу (якщо вони важать однаково), і порівняємо дві монети з цієї групи.

1. Якщо одна з монет має менший вага, то ця монета є фальшивою.
2. Якщо ці монети важать однаково, то фальшива монета - третя монета зі зважування.

Отже, за двома зважуваннями ми можемо знайти фальшиву монету серед трьох. Тепер важливо врахувати, що ми знаємо, що фальшива монета легша.

Третє зважування: Позначимо фальшиву монету як "F". Візьмемо дві інші монети з залишку (позначимо їх як "A" та "B") та порівняємо їх.

1. Якщо "A" та "B" важать однаково, то фальшива монета "F" легша.
2. Якщо "A" легше за "B", то "F" - фальшива монета та вона легше за інші монети.
3. Якщо "B" легше за "A", то "F" - фальшива монета та вона легше за інші монети.

Четверте зважування: Порівняємо фальшиву монету "F" з будь-якою іншою монетою (не важливо, яка з них).

1. Якщо "F" важить менше, то це вірна монета, яка легша за інші.
2. Якщо "F" важить більше, то це фальшива монета, яка легше за інші.

Отже, максимальна кількість монет, яку мудрець може мати, щоб знайти фальшиву легшу монету за 4 зважування: 12 монет (3 + 3 + 3 + 3).