Question

Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции y=x3-x2+4 С подробным решением!!!!!

Answer 1

Сначала находим производную, припрыгиваем к нулю. Наносим на координатную прямую, за методом интервалом находим где плюс где минус. Потом там где производная +, там она растёт( у меня стрелочка вверх) там где производная - там спадает( стрелочка вниз). Экстремумы это максимум и минимум. Если точка переходит с + на - значит это максиму , если наоборот с - на + то минимум

Answer 2

Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции y = x^3 - x^2 + 4, мы должны проанализировать её производную и вторую производную. Производная функции даст нам информацию о её поведении, а вторая производная позволит определить характер экстремумов.

Шаг 1: Найдем производные функции: Первая производная: y' = 3x^2 - 2x Вторая производная: y'' = 6x - 2

Шаг 2: Найдем точки, в которых первая производная равна нулю (критические точки): 3x^2 - 2x = 0 x(3x - 2) = 0

Таким образом, получаем две критические точки: x = 0 и x = 2/3.

Шаг 3: Анализ экстремумов и монотонности:

1. Исследуем интервал (-∞, 0): Выбираем тестовую точку x = -1 (любую точку меньше 0) и подставляем её в первую производную: y'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 Так как первая производная положительна, функция возрастает на этом интервале.

2. Исследуем интервал (0, 2/3): Выбираем тестовую точку x = 0.5 (любую точку между 0 и 2/3) и подставляем её в первую производную: y'(0.5) = 3(0.5)^2 - 2(0.5) = 0.75 - 1 = -0.25 Так как первая производная отрицательна, функция убывает на этом интервале.

3. Исследуем интервал (2/3, +∞): Выбираем тестовую точку x = 1 (любую точку больше 2/3) и подставляем её в первую производную: y'(1) = 3(1)^2 - 2(1) = 3 - 2 = 1 Так как первая производная положительна, функция возрастает на этом интервале.

Шаг 4: Определение экстремумов: Теперь мы можем анализировать вторую производную для определения характера экстремумов в критических точках.

• В точке x = 0: Подставляем x = 0 во вторую производную: y''(0) = 6(0) - 2 = -2 Так как вторая производная отрицательна, это является максимумом.

• В точке x = 2/3: Подставляем x = 2/3 во вторую производную: y''(2/3) = 6(2/3) - 2 = 4 - 2 = 2 Так как вторая производная положительна, это является минимумом.

Итак, у нас есть следующая информация о функции:

• Промежуток монотонности (-∞, 0): Функция возрастает.
• Промежуток монотонности (0, 2/3): Функция убывает.
• Промежуток монотонности (2/3, +∞): Функция возрастает.
• Максимум в точке x = 0.
• Минимум в точке x = 2/3.