Question

3 примера 1)lim n стремится к бесконечности n^(2/3)+n/n+1 2)lim x стремится к 5 (sqrtx-1)-2/x-5 3) lim x стремится к бесконечности (sqrt(x+2)(x+7)-x)

Answer 1

$1)\; \; \lim\limits _{xn \to \infty} \frac{n^{2/3}+n}{n+1}= \lim\limits _{n \to \infty} \frac{n^{-1/3}+1}{1+\frac{1}{n}} = \lim\limits _{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt[3]{n}}+1}{1+\frac{1}{n}} =1\\\\2)\; \; \lim\limits _{x \to 5} \frac{\sqrt{x-1}-2}{x-5} =\lim\limits _{x \to 5} \frac{(\sqrt{x-1}-2)(\sqrt{x-1}+2)}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)} = \lim\limits _{x \to 5} \frac{(x-1)-4}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)} =\\\\= \lim\limits _{x \to 5} \frac{1}{\sqrt{x-1}+2} =\frac{1}{2+2}=0,25$

$3)\; \; \lim\limits_{x \to \infty} (\sqrt{(x+2)(x+7)}-x)= \lim\limits _{x \to \infty} \frac{(x+2)(x+7)-x^2}{\sqrt{(x+2)(x+7)}+x} =\\\\= \lim\limits _{x \to \infty}\frac{x^2+9x+14-x^2}{\sqrt{(x+2)(x+7)}+x} = \lim\limits _{x \to \infty} \frac{9x+14}{\sqrt{x^2+9x+14}+x} =\Big [\frac{:x}{:x}\Big ]=\\\\= \lim\limits _{x \to \infty} \frac{9+\frac{14}{x}}{\sqrt{1+\frac{9}{x}+\frac{14}{x^2}}+1} = \frac{9}{1+1}= \frac{9}{2}=4,5\\\\\\P,S.\; \; \; \lim\limits _{x\to \infty}\frac{k}{x}=0\; ,\; \; k=const\; .$