Question

Помогите пожалуйста! Сколько одночленов окажется в многочлене (1 + t^3 + t^6 + … + t^24) (1 + t^4 + t^8 + … + t^24) после раскрытия скобок и приведения подобных членов?

Answer 1

Считай

$=t^{48}+t^{45}+t^{44}+t^{42}+t^{41}+t^{40}+t^{39}+t^{38}+t^{37}+2t^{36}+t^{35}+t^{34}+2t^{33}+2t^{32}+t^{31}+2t^{30}+2t^{29}+2t^{28}+2t^{27}+2t^{26}+2t^{25}+3t^{24}+2t^{23}+2t^{22}+2t^{21}+2t^{20}+2t^{19}+2t^{18}+t^{17}+2t^{16}+2t^{15}+t^{14}+t^{13}+2t^{12}+t^{11}+t^{10}+t^9+t^8+t^7+t^6+t^4+t^3+1$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый множитель по отдельности:

Первый множитель: $1 + t^3 + t^6 + \ldots + t^{24}$. Здесь имеем арифметическую прогрессию с первым членом $a = 1$, разностью $d = 3$ (поскольку между членами добавляется $t^3$) и последним членом $l = 24$. Количество членов в арифметической прогрессии можно найти по формуле: $n = \frac{l - a}{d} + 1 = \frac{24 - 1}{3} + 1 = 8.$

Второй множитель: $1 + t^4 + t^8 + \ldots + t^{24}$. Здесь также имеем арифметическую прогрессию с $a = 1$, $d = 4$ и $l = 24$. Количество членов в этой прогрессии: $n = \frac{l - a}{d} + 1 = \frac{24 - 1}{4} + 1 = 6.$

Теперь, чтобы найти количество одночленов в результате раскрытия скобок и умножения двух множителей, нужно умножить количество членов в первом множителе на количество членов во втором множителе: $8 \cdot 6 = 48.$

Итак, после раскрытия скобок и приведения подобных членов в многочлене $(1 + t^3 + t^6 + \ldots + t^{24})(1 + t^4 + t^8 + \ldots + t^{24})$ окажется 48 одночленов.