Question

Решите пожалуйста полностью, подробно Найти общий вид первообразной функции 1.f(x) = 2.f(x) = 4tg x + ctg x 3.f(x) = x3 + x2 – x + 4 4.f(x) = 2х4 - 3х2 + 4х - 1 5.f(x) = 9х5 + 10х – 12. 6. f(x) = -8х3 + 12х2 + 2 Для функции f(x) найдите такую первообразную F(x), что 1.f(x) = 3х2 + 10х + 4 , F(2) = -6 2.f(x) = 12х3 + 9х2 - 7 , F(-1) = 5 3.f(x) = 4х3 + 4х , F(2) = 11 4.f(x) = 6х2 - 13 , F(-1) = -8 5.f(x) = 14х - 5 , F(4) = 0

Answer 1

Решение во вложении

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $F(x)$ от функции $f(x)$ мы будем применять правило интегрирования для каждого случая.

1. $f(x) = 2$ \ Для постоянной функции интеграл равен $F(x) = 2x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. $f(x) = 4\tan(x) + \cot(x)$ \ Используем формулу интегрирования тангенса: $\int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C_1$ И формулу интегрирования котангенса: $\int \cot(x) \, dx = \ln|\sin(x)| + C_2$ Таким образом, первообразная для данной функции будет: $F(x) = -4\ln|\cos(x)| + \ln|\sin(x)| + C$

3. $f(x) = x^3 + x^2 - x + 4$ \ Проинтегрируем каждый член функции по отдельности: $\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C_1$ $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_2$ $\int -x \, dx = -\frac{x^2}{2} + C_3$ $\int 4 \, dx = 4x + C_4$ Сложим все части и получим первообразную: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 4x + C$

4. $f(x) = 2x^4 - 3x^2 + 4x - 1$ \ Проинтегрируем каждый член функции по отдельности: $\int 2x^4 \, dx = \frac{2x^5}{5} + C_1$ $\int -3x^2 \, dx = -x^3 + C_2$ $\int 4x \, dx = 2x^2 + C_3$ $\int -1 \, dx = -x + C_4$ Сложим все части и получим первообразную: $F(x) = \frac{2x^5}{5} - x^3 + 2x^2 - x + C$

5. $f(x) = 9x^5 + 10x - 12$ \ Проинтегрируем каждый член функции по отдельности: $\int 9x^5 \, dx = \frac{9x^6}{6} = \frac{3x^6}{2} + C_1$ $\int 10x \, dx = 5x^2 + C_2$ 0 0