Question

Найдите частные производные второго порядка функции z=x*ln(y*x)

Answer 1

$z=x\cdot ln(yx)\\\\\\z'_{x}=ln(yx)+x\cdot \dfrac{1}{yx}\cdot y=ln(yx)+1\\\\\\z'_{y}=x\cdot \dfrac{1}{yx}\cdot x=\dfrac{x}{y}\\\\\\z''_{xx}=\dfrac{1}{yx}\cdot y=\dfrac{1}{x}\\\\\\z''_{xy}=\dfrac{1}{yx}\cdot x=\dfrac{1}{y}\\\\\\z''_{yy}=-\dfrac{x\cdot 1}{y^2}=-\dfrac{x}{y^2}$

Answer 2

Давайте начнем с вычисления первых частных производных функции z = x * ln(y * x) по переменным x и y:

1. Частная производная по x: ∂z/∂x = ln(y * x) + x/y

2. Частная производная по y: ∂z/∂y = x/x * 1/y = 1/y

Теперь найдем вторые частные производные:

1. По x: ∂²z/∂x² = (1/x) * (1/y) + 1/y = 1/(x * y) + 1/y

2. По y: ∂²z/∂y² = 0 (так как вторая производная по y константа)

3. Смешанная производная: ∂²z/∂y∂x = (∂/∂y)(∂z/∂x) = (∂/∂y)(ln(y * x) + x/y) = x/(y^2)

Таким образом, вторые частные производные второго порядка для функции z = x * ln(y * x) будут:

∂²z/∂x² = 1/(x * y) + 1/y ∂²z/∂y² = 0 ∂²z/∂y∂x = x/(y^2)