Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки ексстремуму функції y= 3x-x³

Answer 1

f(x)=3x-x³

f'(x)=3-3x²=3(1-x²)

3(1-x²)=0

x=±1 - критические точки первого порядка (точки подозрительные на экстремум)

на промежутке (-∞;-1)

f'(x)＜0, следовательно это промежуток убывания

на промежутке (-1;1)

f'(x)＞0, следовательно это промежуток возростания

на промежутке (1;+∞)

f'(x)＜0, следовательно это промежуток убывания

так как производная при переходе через эти критические точки меняет знак, они являются экстремумами:

х1=-1, у1=-4

х2=1, у2=2

Answer 2

Для знаходження проміжків зростання і спадання, а також точок екстремуму функції y = 3x - x³, ми спершу знайдемо похідну цієї функції і встановимо її нульові значення.

Дано функцію: y = 3x - x³

1. Знайдемо похідну функції y по відношенню до x: y' = d(3x - x³)/dx = 3 - 3x²

2. Встановимо похідну рівною нулю і знайдемо значення x для точок екстремуму: 3 - 3x² = 0 3x² = 3 x² = 1 x = ±1

   Отже, ми маємо дві можливі точки екстремуму: x = -1 та x = 1.

3. Використовуючи тест диференціального знаку (знак похідної на проміжках між точками екстремуму), ми можемо визначити проміжки зростання і спадання:

   • Для x < -1: Підставимо x = -2 (наприклад) в похідну: y'(-2) = 3 - 3(-2)² = 3 - 12 = -9 (від'ємне значення) Таким чином, на цьому проміжку функція спадає.

   • Для -1 < x < 1: Підставимо x = 0 (наприклад) в похідну: y'(0) = 3 - 3(0)² = 3 (додатне значення) Таким чином, на цьому проміжку функція зростає.

   • Для x > 1: Підставимо x = 2 (наприклад) в похідну: y'(2) = 3 - 3(2)² = 3 - 12 = -9 (від'ємне значення) Таким чином, на цьому проміжку функція спадає.

Таким чином, ми маємо:

• Проміжок зростання: -1 < x < 1
• Проміжок спадання: x < -1, x > 1

Точки екстремуму:

1. (1, 2)
2. (-1, 4)