Question

УМОЛЯЮ! ПОМОГИТЕ! ДАЮ 25 БАЛЛОВ Дано 100 чисел. Коли кожне из чисел збільшили на 1, сума їх квадратів незмінилась. Кожне число ще раз збільшили на 1. На скільки змінилась сумаквадратів на цей раз?​

Answer 1

Ответ:

на 200

Пошаговое объяснение:

количество чисел n=100

Допустим $x^{2} +y^{2} +z^{2} +...b^{2} =N$

тогда $(x+1)^{2}+(y+1)^{2} +(z+1)^{2} +...+(b+1)^{2} =N$

или

$x^{2} +y^{2} +z^{2} +...+b^{2} +2(x+y+z+...+b+n)=N+2(x+y+z+...+b+n)$

таким образом,

$2(x+y+z+...+b+n)=0$

тогда

$x+y+z+...+b=-\frac{n}{2}$

увеличиваем каждое число еще на 1 и считаем сумму квадратов получившихся чисел:

$(x+2)^{2} +(y+2)^{2} +(z+2)^{2} +...+(b+2)^{2} =x^{2} +y^{2} +z^{2} +...+b^{2}+4(x+y+z+...+b+n)$

или

$N+4(-\frac{n}{2} +n)=N+2n$

т.е. сумма увеличится на 2n=2*100=200

Answer 2

Запишемо спочатку дані умови:

Нехай маємо 100 чисел: a₁, a₂, ..., a₁₀₀.

Ми знаємо, що коли кожне число збільшити на 1, сума їх квадратів не зміниться. Математично це можна записати як:

(a₁ + 1)² + (a₂ + 1)² + ... + (a₁₀₀ + 1)² = a₁² + a₂² + ... + a₁₀₀²

Розгортаємо кожний квадрат в цій рівності:

a₁² + 2a₁ + 1 + a₂² + 2a₂ + 1 + ... + a₁₀₀² + 2a₁₀₀ + 1 = a₁² + a₂² + ... + a₁₀₀²

Спростимо рівність, віднявши a₁², a₂², ..., a₁₀₀² з обох боків:

2a₁ + 2a₂ + ... + 2a₁₀₀ + 100 = 0

Застосуємо тепер іншу інформацію, а саме, що кожне число ще раз збільшили на 1:

(a₁ + 2)² + (a₂ + 2)² + ... + (a₁₀₀ + 2)²

Розгортаємо кожний квадрат:

a₁² + 4a₁ + 4 + a₂² + 4a₂ + 4 + ... + a₁₀₀² + 4a₁₀₀ + 4

Тепер можна відняти a₁² + a₂² + ... + a₁₀₀² з обох боків:

3a₁ + 3a₂ + ... + 3a₁₀₀ + 400

Ми бачимо, що сума змінилась на 400. Тобто, сума квадратів збільшилась на 400.

Отже, відповідь: сума квадратів змінилась на 400.