Question

Интеграл от (e^2x)cosxdx​

Answer 1

Решение на фотографии:

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫(e^(2x) * cos(x)) dx можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит так:

∫(u * v) dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx,

где u - первообразная для e^(2x), v - первообразная для cos(x), u' - производная от u.

Давайте применим этот метод к данному интегралу:

Пусть u = e^(2x), du/dx = 2e^(2x), и v = sin(x), dv/dx = cos(x).

Теперь мы можем вычислить две интегралы:

∫(e^(2x) * cos(x)) dx = u * v - ∫(u' * v) dx = e^(2x) * sin(x) - ∫(2e^(2x) * sin(x)) dx.

Теперь у нас остался интеграл ∫(2e^(2x) * sin(x)) dx, который можно решить методом интегрирования по частям снова:

Пусть u = 2e^(2x), du/dx = 4e^(2x), и v = -cos(x), dv/dx = sin(x).

Применяем формулу интегрирования по частям:

∫(2e^(2x) * sin(x)) dx = u * v - ∫(u' * v) dx = 2e^(2x) * (-cos(x)) - ∫(4e^(2x) * (-cos(x))) dx = -2e^(2x) * cos(x) + 4∫(e^(2x) * cos(x)) dx.

Теперь мы можем подставить это обратно в первоначальное уравнение:

∫(e^(2x) * cos(x)) dx = e^(2x) * sin(x) - (-2e^(2x) * cos(x) + 4∫(e^(2x) * cos(x)) dx) = e^(2x) * sin(x) + 2e^(2x) * cos(x) - 4∫(e^(2x) * cos(x)) dx.

Теперь давайте выразим ∫(e^(2x) * cos(x)) dx:

5∫(e^(2x) * cos(x)) dx = e^(2x) * sin(x) + 2e^(2x) * cos(x) ∫(e^(2x) * cos(x)) dx = (e^(2x) * sin(x) + 2e^(2x) * cos(x)) / 5 + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Итак, интеграл ∫(e^(2x) * cos(x)) dx равен (e^(2x) * sin(x) + 2e^(2x) * cos(x)) / 5 + C.