Question

Высшая математика, помогите пожалуйста Найти решение задачи Коши для уравнения Бернулли.Решил, ответ: y= e^-x))) можно удалять

Answer 1

Ответ:

$y'+2y=e^{x}\cdot y^2\ \ ,\ \ y(0)=1\\\\y=uv\ \ ,\ \ y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+2uv=e^{x}u^2v^2\\\\u'v+u\, (v'+2v)=e^{x}u^2v^2\\\\a)\ \ \dfrac{dv}{dx}=-2v\ \ ,\ \ \int \dfrac{dv}{v}=-2\int dx\ \ ,\ \ ln|v|=-2x\ \ ,\ \ v=e^{-2x}\\\\b)\ \ \dfrac{du}{dx}\cdot e^{-2x}=e^{x}\, u^2\, e^{-4x}\ \ ,\ \ \int \dfrac{du}{u^2}=\int e^{-x}\, dx\ \ ,\\\\-\dfrac{1}{u}=-e^{-x}-C\ \ ,\ \ u=\dfrac{1}{e^{-x}+C}\\\\c)\ \ \ y=\dfrac{e^{-2x}}{e^{-x}+C}\ \ ,\ \ y=\dfrac{1}{e^{x}\, (1+C\, e^{x})}$

$d)\ \ y(0)=1:\ \ y(0)=\dfrac{1}{e^{0}\, (1+C\, e^{0})}=\dfrac{1}{1+C}=1\ \ ,\ \ 1+C=1\ \ ,\ \ C=0\\\\\\y_{chastnoe}=\dfrac{1}{e^{x}}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить задачу Коши для уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли имеет вид:

$y' + p(x) \cdot y = q(x) \cdot y^n.$

Где $p(x)$, $q(x)$ и $n$ - даны функции и степень, соответственно.

Давайте рассмотрим вашу задачу Коши более подробно:

$y' + y = x \cdot y^2, \quad y(0) = 1.$

Это уравнение Бернулли, так как степень $n = 2$.

Для начала, давайте преобразуем уравнение, чтобы оно было в более удобной форме:

$y' = x \cdot y^2 - y.$

Теперь мы можем использовать метод разделяющихся переменных для его решения. Разделим обе стороны уравнения на $(x \cdot y^2 - y)$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot y^2 - y}{x \cdot y^2 - y}.$

Мы видим, что сокращение $x \cdot y^2 - y$ на обеих сторонах даст нам:

$\frac{dy}{dx} = 1.$

Теперь проинтегрируем обе стороны по переменным $x$ и $y$:

$\int dy = \int dx.$

Интегрируя, получим:

$y = x + C.$

Теперь мы можем использовать начальное условие $y(0) = 1$, чтобы найти константу $C$:

$1 = 0 + C \Rightarrow C = 1.$

Итак, частное решение уравнения Бернулли:

$y = x + 1.$

В данном случае, ваш исходный ответ $y = e^{-x}$ не является решением данной задачи Коши. Правильный ответ: $y = x + 1$.