Question

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, которая делит высоту пирамиды в отношении 2 : 9, считая от вершины. Вычисли площадь основания, если площадь сечения равна 12 дм2. осн. - найти Впиши пропущенное слово: если пирамида пересечена плоскостью, которая параллельна основанию, то площади сечения и основания относятся как расстояний от них до вершины пирамиды.

Answer 1

Ответ:

1) площадь основания 243 дм²

2) пропущенное слово - квадраты

Пошаговое объяснение:

1) при пересечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию,

площадь основания относится к площади  сечения, как квадраты их расстояний до вершины.

составим пропорцию для нашего случая

$\frac{So}{Sc} = \frac{9^{2} }{4^{2} }$

$So = \frac{Sc *81}{4} = \frac{12*81}{4} = 243$

S основания = 243 дм²

2) пропущенное слово - квадраты

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу. Пусть высота пирамиды равна $H$, а расстояние от вершины пирамиды до плоскости сечения (параллельной основанию) равно $h$. Также пусть площадь сечения равна $A_{\text{сеч}} = 12 \, \text{дм}^2$.

По условию, отношение высоты $H$ к расстоянию $h$ равно $2:9$:

$\frac{H}{h} = \frac{2}{9}.$

Отсюда можно выразить высоту через расстояние:

$H = \frac{2h}{9}.$

Теперь мы можем использовать подобие треугольников, чтобы выразить площадь основания пирамиды $A_{\text{осн}}$ через площадь сечения $A_{\text{сеч}}$ и высоту $h$. Площади треугольников будут пропорциональны квадратам соответствующих сторон.

$\frac{A_{\text{сеч}}}{A_{\text{осн}}} = \frac{h^2}{H^2}.$

Подставляем выражение для высоты $H$:

$\frac{A_{\text{сеч}}}{A_{\text{осн}}} = \frac{h^2}{\left(\frac{2h}{9}\right)^2} = \frac{81h^2}{4h^2} = \frac{81}{4}.$

Теперь мы знаем, что отношение площадей сечения и основания равно $\frac{81}{4}$. Площадь сечения $A_{\text{сеч}}$ известна и равна $12 \, \text{дм}^2$. Теперь можем выразить площадь основания $A_{\text{осн}}$:

$\frac{A_{\text{сеч}}}{A_{\text{осн}}} = \frac{81}{4} \implies A_{\text{осн}} = \frac{4}{81} \cdot A_{\text{сеч}} = \frac{4}{81} \cdot 12 = \frac{16}{27} \cdot 4 = \frac{64}{27} \, \text{дм}^2.$

Итак, площадь основания пирамиды равна $\frac{64}{27} \, \text{дм}^2$.