Question

Укажіть первісну для функції f(x) = 6х^5, графік якої проходить через точку А(2; 65).

Answer 1

f(x) = 6x⁵

(xⁿ)' = nx^n-1

F(x) = x⁶+C

A(2; 65)€F(x)

F(2) = 64+C = 65

C = 1

Ответ: F(x) = x⁶+1

Answer 2

Для знаходження первісної (антинеглової) функції $F(x)$ для даної функції $f(x) = 6x^5$, спочатку застосуємо процес інтегрування.

Загальний підхід до знаходження первісної полягає в знаходженні виразу для інтегралу від заданої функції. Це здійснюється за допомогою правил інтегрування. Для даної функції $f(x) = 6x^5$, ми будемо інтегрувати відносно $x$.

$F(x) = \int f(x) \, dx$

$F(x) = \int 6x^5 \, dx$

Щоб інтегрувати, давайте застосуємо формулу для інтегрування степеневої функції:

$\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C,$

де $n \neq -1$ і $C$ - константа інтегрування.

У нашому випадку $n = 5$:

$F(x) = \frac{1}{5+1} x^{5+1} + C = \frac{1}{6} x^6 + C.$

Тепер нам потрібно знайти значення константи $C$ за допомогою інформації про точку $A(2; 65)$. Підставляємо значення $x = 2$ і $F(x) = 65$ у рівняння:

$65 = \frac{1}{6} \cdot 2^6 + C.$

$65 = \frac{1}{6} \cdot 64 + C.$

$65 = \frac{64}{6} + C.$

$65 = \frac{32}{3} + C.$

$C = 65 - \frac{32}{3}.$

$C = \frac{195 - 32}{3}.$

$C = \frac{163}{3}.$

Отже, первісна функції $f(x) = 6x^5$ через точку $A(2; 65)$ має вигляд:

$F(x) = \frac{1}{6} x^6 + \frac{163}{3}.$