Question

Укажіть первісну для функції f(x) = 3 cos 3x + 1/2sinх/2 , графік якої проходить через точку А (п/2;-2/3).

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

∫ (3 cos 3x + 1/2sinх/2)dx = sin3x -cos (x/2) +C

-2/3 = sin(3* π/2) - cos (π/4)+C

-2/3 = -1 -√2/2 +C

$C =\frac{2+3\sqrt{2} }{6}$

первообразная   $sin(3x) -cos(\frac{x}{2} ) +\frac{2+3\sqrt{2} }{6}$

Answer 2

Перш за все, ми хочемо знайти значення параметрів (амплітуди, періоду, зсуву) для кожного з компонентів функції f(x) = 3cos(3x) + (1/2)sin(x/2), щоб знайти вираз для цієї функції.

1. Амплітуда для косинусної компоненти (3cos(3x)) - це 3.
2. Амплітуда для синусної компоненти ((1/2)sin(x/2)) - це 1/2.

Тепер ми можемо записати функцію у вигляді суми двох компонентів:

f(x) = 3cos(3x) + (1/2)sin(x/2)

Далі, ми хочемо знайти період обох компонентів функції. Період косинусної функції cos(kx) - це (2π)/k, де k - це коефіцієнт перед x. Тут k = 3, отже період для косинусної компоненти:

Період для cos(3x) = (2π)/3

Період синусної функції sin(mx) - це (2π)/m, де m - це коефіцієнт перед x. Тут m = 1/2, отже період для синусної компоненти:

Період для sin(x/2) = (2π)/(1/2) = 4π

Тепер, щоб знайти період для функції f(x), нам потрібно знайти найменше спільне кратне (НСК) періодів обох компонентів:

НСК(2π/3, 4π)

НСК(2π/3, 4π) = (2π/3)*(4π/4) = (8π/3)

Отже, період функції f(x) дорівнює 8π.

Тепер ми можемо записати функцію f(x) у наступному вигляді:

f(x) = 3cos(3x) + (1/2)sin(x/2)

Знаючи амплітуди та період функції, ми можемо знайти графік, який проходить через точку А (π/2, -2/3). Графік буде виглядати наступним чином:

f(x) = 3cos(3x) + (1/2)sin(x/2)

Амплітуда косинусної компоненти - 3, тому графік косинусної компоненти буде коливатися між -3 і 3.

Амплітуда синусної компоненти - 1/2, тому графік синусної компоненти буде коливатися між -1/2 і 1/2.

Тепер ми можемо знайти значення f(x) в точці π/2:

f(π/2) = 3cos(3(π/2)) + (1/2)sin((π/2)/2) f(π/2) = 3cos(3π/2) + (1/2)sin(π/4)

Тут вам потрібно врахувати, що cos(3π/2) дорівнює 0, а sin(π/4) дорівнює √2/2.

Отже, f(π/2) = 0 + (1/2)(√2/2) = √2/4.

Отже, графік функції f(x), який проходить через точку А (π/2, -2/3), матиме значення f(π/2) = √2/4 в цій точці.