Question

Доведіть тотожність х⁶-у⁶=(х-у)(х+у)(х²-ху+у²)(х²+ху+у²).

Answer 1

Ответ: Щоб довести тобі треба використати формули суми і різниці кубів, а також різницю квадратів

Answer 2

Для доведення даної тотожності ми можемо використати формулу різниці кубів: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Замінимо $a$ на $x^2$ та $b$ на $y^2$, отримаємо:

$$x^6 - y^6 = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4).$$

Тепер ми можемо використовувати різницю квадратів для $x^2 - y^2$ і отримати:

$$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^4 + x^2y^2 + y^4).$$

Зараз нам залишилося розкрити квадратний трьохчлен $x^4 + x^2y^2 + y^4$ у добуток двох квадратних трьохчленів. Для цього ми використаємо кубічну різницю $(a^3 - b^3)$ знову:

$$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2.$$

Тепер ми використовуємо різницю квадратів $(a^2 - b^2) = (a + b)(a - b)$ для різниці квадратів $(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$:

$$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy).$$

Таким чином, ми отримали:

$$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy).$$

Замітимо, що останні два добутки $x^2 + y^2 + xy$ і $x^2 + y^2 - xy$ також є різницями квадратів:

$$x^2 + y^2 + xy = (x + y)^2 - xy \quad \text{та} \quad x^2 + y^2 - xy = (x - y)^2 + xy.$$

Тепер підставимо ці вирази назад в нашу останню тотожність:

$$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x + y)^2 - xy)(x - y)^2 + xy).$$