Question

Доведіть тотожність. (tg(9π/4)+tg(5π/2-alfa))^2+(ctg(5π/4)+ctg(π-alfa))^2=2/(sin^2alfa)

Answer 1

Смотри во вложении.

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение:

\[ (\tan\left(\frac{9\pi}{4}\right) + \tan\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right))^2 + (\cot\left(\frac{5\pi}{4}\right) + \cot(\pi - \alpha))^2 = \frac{2}{\sin^2\alpha} \]

Для упрощения этого уравнения, давайте сначала выразим тангенсы и котангенсы через синусы и косинусы.

1. Помним, что \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) и \( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \).

Таким образом, \[ \tan\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \]

\[ \tan\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) = \cot(\alpha) \]

\[ \cot\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \]

\[ \cot(\pi - \alpha) = -\cot(\alpha) \]

2. Подставим эти значения обратно в исходное уравнение:

\[ (1 + \cot(\alpha))^2 + (1 - \cot(\alpha))^2 = \frac{2}{\sin^2\alpha} \]

3. Упростим:

\[ (1 + \cot(\alpha))^2 + (1 - \cot(\alpha))^2 = \frac{2}{\sin^2\alpha} \]

Раскроем скобки:

\[ 1 + 2\cot(\alpha) + \cot^2(\alpha) + 1 - 2\cot(\alpha) + \cot^2(\alpha) = \frac{2}{\sin^2\alpha} \]

Сократим слагаемые:

\[ 2 + 2\cot^2(\alpha) = \frac{2}{\sin^2\alpha} \]

Разделим обе стороны на 2:

\[ 1 + \cot^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2\alpha} \]

4. Используем тождество \( \cot^2(x) + 1 = \csc^2(x) \):

\[ \csc^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2\alpha} \]

Таким образом, исходное утверждение верно.

Это завершает доказательство данной тождественности.