Question

Полное исследование и график f(x)= 3/2x^2-x^3 . Даю много очков !

Answer 1

Ответ:

Нули функции x=0, x=3/2

f'(x)=3x-3x²

Нули производной x=1, x=0

f''(x)=3-6x

f''(0)=3 f''(1  )= -3

х=0 - точка минимума х=1 - точка максимума

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Конечно, я помогу вам провести полное исследование функции $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - x^3$. Давайте начнем с поиска области определения функции.

1. Область определения (Domain): Функция $f(x)$ определена для всех действительных значений $x$, так как многочлены могут принимать любые значения.

2. Производная функции (Derivative): Вычислим производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2 - x^3\right) = 3x - 3x^2.$

3. Экстремумы (Critical Points): Найдем точки, в которых производная равна нулю: $3x - 3x^2 = 0.$ $x(3 - 3x) = 0.$ Это даёт две критические точки: $x = 0$ и $x = 1$.

4. Исследование на возрастание и убывание (Increasing/Decreasing Intervals): Проанализируем знак производной в интервалах между и вокруг критических точек:

   • Для $x < 0$: $f'(x) > 0$, так что $f(x)$ возрастает.
   • Для $0 < x < 1$: $f'(x) > 0$, так что $f(x)$ возрастает.
   • Для $x > 1$: $f'(x) < 0$, так что $f(x)$ убывает.

5. Точки перегиба (Inflection Points): Для поиска точек перегиба найдем вторую производную функции $f(x)$: $f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(3x - 3x^2) = 3 - 6x.$ Чтобы найти точки перегиба, решим уравнение $f''(x) = 0$: $3 - 6x = 0$ $x = \frac{1}{2}$.

6. Исследование на выпуклость и вогнутость (Concavity Analysis): Проанализируем знак второй производной в интервалах между и вокруг точки перегиба:

   • Для $x < \frac{1}{2}$: $f''(x) > 0$, так что $f(x)$ вогнута вверх.
   • Для $x > \frac{1}{2}$: $f''(x) < 0$, так что $f(x)$ вогнута вниз.

7. График функции: Теперь, используя полученные данные, мы можем нарисовать график функции $f(x)$. График будет возрастать на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$, а также будет убывать на интервале $(1, \infty)$. Точка перегиба находится в $x = \frac{1}{2}$. Также, график будет выпуклым вниз на интервале $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$ и вогнутым вниз на интервале $\left(\frac{1}{2}, \infty\right)$.

   

Это полное исследование функции $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - x^3$ включает в себя область определения, производные, критические точки, интервалы возрастания и убывания, точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости, а также график функции.