Question

Дано функцію f(x) = (x^2-8x)/(x+1) Знайти найбільше і найменше значення даної функції на проміжку [-5,-2]

Answer 1

Ответ:

====================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для знаходження найбільшого і найменшого значення функції на заданому проміжку, спершу знайдемо похідну функції і визначимо, де вона змінює знак. Це допоможе знайти критичні точки, де функція може досягати свого екстремуму.

Дана функція: f(x) = (x^2 - 8x) / (x + 1)

1. Знайдемо похідну f'(x): f'(x) = [(x + 1) * (2x - 8) - (x^2 - 8x)] / (x + 1)^2 = (2x^2 - 16x + 2x - 8 - x^2 + 8x) / (x + 1)^2 = (x^2 - 6x - 8) / (x + 1)^2

2. Вирішимо рівняння f'(x) = 0 для знаходження критичних точок: x^2 - 6x - 8 = 0

Знаходимо корені цього квадратного рівняння: (x - 8)(x + 2) = 0 x = 8 або x = -2

3. Відсутність точки x = -1 в області визначення функції можна підтвердити, підставивши в початкову функцію і побачивши, що у знаменнику виникає ділення на нуль.

Тепер ми маємо три можливі області для аналізу: (-∞, -5), (-5, -2) і (-2, ∞).

4. Перевіримо значення похідної f'(x) в цих областях і в критичних точках:

• Для x < -2, f'(x) = (x^2 - 6x - 8) / (x + 1)^2 від'ємна.
• Для -2 < x < -1, f'(x) = (x^2 - 6x - 8) / (x + 1)^2 додатня.
• Для -1 < x < -5, функція не існує через ділення на нуль у знаменнику.

5. Значення функції на границях області та критичних точках:

f(-5) = (-5^2 + 8 * 5) / (-5 + 1) = 25 / (-4) = -6.25 f(-2) = (-2^2 + 8 * 2) / (-2 + 1) = 4 / (-1) = -4

6. Отже, найбільше значення функції на проміжку [-5, -2] дорівнює -4 (досягається в точці x = -2), а найменше значення дорівнює -6.25 (досягається в точці x = -5).