Question

Знайдіть площу фігури обмеженої лініями y=-4/x y=5+x ​

Answer 1

$y=-\frac{4}{x}##\\y=5+x$

См. рис.

Точки пересечения графиков : x₁=-4,x₂=-1

$S=\int^{-1}_{-4}(5+x-(-\frac{4}{x}))dx=(5x+\frac{x^2}{2}+4*ln(\mid x \mid))\mid^{-1}_{-4}=\\\\=5*(-1)+\frac{(-1)^2}{2}+4*ln\mid-1\mid-(5*(-4)+\frac{(-4)^2}{2}+4*ln\mid 4 \mid)=\\\\=-5+\frac{1}{2}+4*0-(-20+8+4*ln(4))=-5+\frac{1}{2}+12-4ln(4)=\frac{15}{2}-4ln(4)$

Ответ: $\frac{15}{2}-4ln(4)$ ед²

Answer 2

Щоб знайти площу обмеженої фігури між графіками функцій y = -4/x та y = 5 + x, спершу потрібно знайти точки їх перетину. Для цього вирішимо рівняння:

-4/x = 5 + x

Помножимо обидві сторони на x, а потім перенесемо всі доданки на одну сторону:

-4 = 5x + x^2

Тепер маємо квадратне рівняння:

x^2 + 5x + 4 = 0

Ми можемо розв'язати його за допомогою квадратного рівняння, факторизації або за допомогою квадратного кореня. Розв'яжемо його за допомогою квадратного кореня:

x = (-5 ± √(5^2 - 4 * 1 * 4)) / (2 * 1) x = (-5 ± √(25 - 16)) / 2 x = (-5 ± √9) / 2 x = (-5 ± 3) / 2

Отже, маємо два корені: x = -4 та x = -1.

Тепер, коли маємо значення x, ми можемо знайти відповідні значення y для кожного графіка:

Для y = -4/x: При x = -4, y = -4/(-4) = 1 При x = -1, y = -4/(-1) = 4

Для y = 5 + x: При x = -4, y = 5 + (-4) = 1 При x = -1, y = 5 + (-1) = 4

Таким чином, точки перетину графіків є (-4, 1) та (-1, 4). Тепер ми можемо обчислити площу між цими двома графіками. Площа під кривою може бути обчислена як інтеграл різниці функцій від -4 до -1:

Площа = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx Площа = ∫[-4, -1] ((-4/x) - (5 + x)) dx

Зараз можна обчислити цей інтеграл чисельно або аналітично, але для чисельного розрахунку вам може знадобитися математичне програмне забезпечення або калькулятор, здатний розв'язувати інтеграли.