Question

Обязательно дайте объяснение. На высоте неравнобедренного треугольника ABC, проведенной из вершины A, выбрана точка X. Оказалось, что ∠ABX = ∠ACX. Докажите, что X совпадает с ортоцентром треугольника ABC. ​

Answer 1

Пусть $AH_A$ — высота. Выполним симметрию ΔABX относительно AX. ΔABX переходит в ΔAB'X. ∠AB'X = ∠ACX и опираются на один отрезок, значит, AXB'C — вписанный четырёхугольник. Тогда и ∠B'CX = ∠B'AX. Но ΔBAB' — равнобедренный по построению, где $AH_A$ — высота. Тогда ∠BAX = ∠B'AX = ∠B'CX.

Пусть прямая CX пересекает AB в $H_C$, а BX пересекает AC — в $H_B$. Рассмотрим $\triangle ABH_A$ и $\triangle CBH_C$: ∠B — общий, $\angle BAH_A = \angle BCH_C$ ⇒ $\angle H_A = \angle H_C$, но $\angle H_A$ — прямой, тогда и $\angle H_C$ — прямой. $AH_A, CH_C$ — высоты, пересекаются в точке X, тогда $BH_B$ — также высота, X — ортоцентр, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, что точка X совпадает с ортоцентром треугольника ABC, мы воспользуемся свойствами ортоцентра и свойствами углов.

Ортоцентр треугольника — это точка пересечения высот треугольника. Высота треугольника — это отрезок, проведенный из вершины перпендикулярно противоположной стороне.

Поскольку у нас дано, что ∠ABX = ∠ACX, мы можем рассмотреть два случая:

1. Пусть ∠ABX = ∠ACX = 90°. В этом случае точка X совпадает с вершиной A, и она также совпадает с ортоцентром, так как ортоцентр лежит на пересечении высот треугольника, и в данном случае одна из высот совпадает с стороной треугольника.

2. Пусть ∠ABX = ∠ACX < 90°. В этом случае обе точки B и C лежат на одной и той же полуплоскости относительно прямой AX, и AX будет образовывать меньший угол с этой полуплоскостью. Таким образом, точка X лежит внутри треугольника ABC.

Теперь рассмотрим треугольник ABX. Так как ∠ABX = ∠ACX, и каждый из этих углов равен α, где α - угол в вершине треугольника, то угол BAX также равен α. Таким образом, мы видим, что BAX и BCA — это два угла, стороны которых соответственно параллельны, а значит, треугольники ABX и ABC подобны.

Так как треугольники ABX и ABC подобны, и AX является высотой треугольника ABX, то высота треугольника ABC (проведенная из вершины A) и высота треугольника ABX (проведенная из вершины A) будут совпадать.

Из свойств ортоцентра следует, что он лежит на пересечении высот треугольника. Мы показали, что высоты треугольников ABC и ABX совпадают. Следовательно, точка X, лежащая на этой высоте, совпадает с ортоцентром треугольника ABC.

Таким образом, мы доказали, что если ∠ABX = ∠ACX, то точка X совпадает с ортоцентром треугольника ABC.