Question

При каких значениях параметра а уравнение х^2+(2а-1)х+а^2-3а=0  имеет два положительных корни?при яких значеннях параметра а рівняння х^2+(2а-1)х+а^2-3а=0 має два додатних корені?​

Answer 1

если корни могут совпадать, то [-1/8;0)

если корни различны, то (-1/8;0)

Answer 2

Для уравнения х^2 + (2a-1)x + a^2 - 3a = 0, чтобы иметь два положительных корня, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант (D) был положительным и чтобы оба корня были положительными числами.

Дискриминант вычисляется по формуле D = (2a-1)^2 - 4(a^2 - 3a) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 12a = -3a^2 + 8a + 1.

Для уравнения иметь два положительных корня, дискриминант D должен быть положительным, то есть -3a^2 + 8a + 1 > 0.

Для решения этого неравенства, можно использовать факторизацию, метод полного квадрата или графический метод. Однако, в данном случае решим его, используя квадратное уравнение:

-3a^2 + 8a + 1 > 0

Сначала решим соответствующее квадратное уравнение -3a^2 + 8a + 1 = 0:

a = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

a = (-8 ± √(8^2 - 4(-3)(1))) / (2(-3))

a = (-8 ± √(64 + 12)) / (-6)

a = (-8 ± √76) / (-6)

a = (-8 ± 2√19) / (-6)

Теперь мы имеем два значения параметра a, которые разделяют числовую прямую на три интервала: (-∞, a1), (a1, a2) и (a2, +∞).

Выберем тестовую точку в каждом интервале и проверим значение неравенства -3a^2 + 8a + 1 > 0:

1. Для интервала (-∞, a1), возьмем a = 0:

-3(0)^2 + 8(0) + 1 = 1 > 0

Условие выполняется.

2. Для интервала (a1, a2), возьмем a = 1:

-3(1)^2 + 8(1) + 1 = 6 > 0

Условие выполняется.

3. Для интервала (a2, +∞), возьмем a = 2:

-3(2)^2 + 8(2) + 1 = 7 > 0

Условие выполняется.

Таким образом, при любых значениях параметра a из интервала (-∞, a1) или из интервала (a2, +∞), уравнение х^2 + (2a-1)x + a^2 - 3a = 0 будет иметь два положительных корня.