Question

5. Периметр прямокутника 30см. Знайти його сторони, якщо площа 56 см2.Решить за теоремою Вієта ​

Answer 1

Ответ:

Стороны 8см,7см,8см,7см (длина 8 см, ширина 7 см)

Пошаговое объяснение:

х и у смежные стороны.

ху=56

х+у=15

По теореме Виета это корни квадратного уравнения

а^2-15a+56

Можно через дискриминант, но теорему Виета чаще используют, чтобы "угадать " корни, которые и здесь очевидны:

х=8 у=7

-----------

Тем не менее покажем  решение бе угадывания:

приводим уравнение к виду

(а-7,5)^2=0,5^2, откудасразу а1=7, а2=8

и х=8  у=7

Answer 2

Давайте позначимо сторони прямокутника як $x$ і $y$, де $x$ - довша сторона, а $y$ - коротша сторона.

Ми знаємо, що периметр прямокутника дорівнює 30 см:

$2x + 2y = 30$

Ми також знаємо, що площа прямокутника дорівнює 56 см²:

$xy = 56$

Ми можемо використати теорему Вієта для розв'язання цієї системи рівнянь. За теоремою Вієта, якщо $p$ і $q$ є коренями квадратного рівняння $t^2 - st + r = 0$, то $p + q = s$ і $pq = r$.

У нашому випадку, корені рівнянь $t^2 - 30t + 56 = 0$ будуть сторонами $x$ і $y$.

За теоремою Вієта, ми маємо:

$x + y = 30$ $xy = 56$

Розв'язавши перше рівняння відносно $y$, отримуємо:

$y = 30 - x$

Підставимо це значення у друге рівняння:

$x(30 - x) = 56$

Розкривши дужку і приведемо рівняння до квадратного виду:

$30x - x^2 = 56$

Помножимо обидві сторони на -1 для спрощення коефіцієнтів:

$x^2 - 30x + 56 = 0$

Тепер у нас є квадратне рівняння, корені якого є сторонами прямокутника. Можна розв'язати його за допомогою квадратного кореня або інших методів розв'язання квадратних рівнянь.

Давайте розв'яжемо це рівняння, використовуючи квадратний корінь:

$x^2 - 30x + 56 = 0$ $\Rightarrow x = \frac{30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \cdot 56}}{2}$

Обчислюючи корені, отримуємо два можливих значення для $x$:

$x_1 = \frac{30 + \sqrt{676}}{2} = \frac{30 + 26}{2} = 28$ $x_2 = \frac{30 - \sqrt{676}}{2} = \frac{30 - 26}{2} = 2$

Отже, можливі довжини сторін прямокутника - 28 см і 2 см. При цьому, відповідні ширини будуть 2 см і 28 см.