Question

2. Найдите все натуральные числа а и b, если из четырех утверждений. 1) а + 1 делится на b; 2) a = 2b + 5; 3) a + b делится на 3; 4) a + 7b простое число. три истинны, а одно ложно.

Answer 1

Ответ:

1) а=15 в=2 (15+1)/2*2=4

2) в=5 а=2*5+5=15

3) а=6 в=9  (6+9)/3=5

4) а=3 в=2  3+2*7=17

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности и попробуем найти такие значения a и b, чтобы три из них были истинными, а одно - ложным.

Утверждение 1: a + 1 делится на b. Утверждение 2: a = 2b + 5. Утверждение 3: a + b делится на 3. Утверждение 4: a + 7b - простое число.

Попробуем все возможные комбинации:

1. Пусть утверждение 1 ложно. Тогда a + 1 не делится на b. Но если утверждение 2 и 3 истинные, то:

   • Утверждение 2: a = 2b + 5.
   • Утверждение 3: a + b делится на 3.

   Если сложить эти два утверждения, получим: a + (2b + 5) ≡ a + b + 2b + 5 ≡ a + b (mod 3). Это значит, что a + (2b + 5) также делится на 3, и следовательно, утверждение 1 должно быть истинным, что противоречит нашему предположению. Таким образом, эта комбинация не подходит.

2. Пусть утверждение 2 ложно. Тогда a не может быть равно 2b + 5. Но если утверждение 1 и 3 истинные, то:

   • Утверждение 1: a + 1 делится на b.
   • Утверждение 3: a + b делится на 3.

   Если вычесть утверждение 1 из утверждения 3, получим: a + b - (a + 1) ≡ b - 1 ≡ 0 (mod 3). Это значит, что b - 1 делится на 3, и следовательно, b делится на 3. Но если b делится на 3, то a + 1 также должно делиться на 3 согласно утверждению 1, что противоречит нашему предположению. Таким образом, эта комбинация также не подходит.

3. Пусть утверждение 3 ложно. Тогда a + b не делится на 3. Но если утверждение 1 и 2 истинные, то:

   • Утверждение 1: a + 1 делится на b.
   • Утверждение 2: a = 2b + 5.

   Если сложить утверждения 1 и 2, получим: a + 1 + a = 2a + 1 ≡ 1 (mod b). Это значит, что 2a + 1 делится на b. Также мы знаем, что a = 2b + 5, поэтому 2a = 4b + 10. Если выразить 2a через b и подставить в 2a + 1, получим: 4b + 10 + 1 = 4b + 11 ≡ 11 (mod b). Таким образом, число 11 должно делиться на b, но такого b нет (поскольку b - натуральное число). Эта комбинация тоже не подходит.

4. Пусть утверждение 4 ложно. Тогда a + 7b - не простое число. Но если утверждение 1 и 2 истинные, то:

   • Утверждение 1: a + 1 делится на b.
   • Утверждение 2: a = 2b + 5.

   Подставив утверждение 2 в утверждение 1, получим: 2b + 5 + 1 ≡ 2b + 6 ≡ 0 (mod b). Это значит, что 2b + 6 делится на b, а следовательно, 6 тоже делится на b. Это означает, что b может быть равно 1 или 2. Если b = 1, то из утверждения 2 следует, что a = 2 + 5 = 7. Таким образом, комбинация (a, b) = (7, 1) подходит.

Подведем итог: единственной подходящей комбинацией является (a, b) = (7, 1). Убедимся, что она удовлетворяет условиям:

1. a + 1 делится на b: 7 + 1 = 8 делится на 1.
2. a = 2b + 5: 7 = 2 * 1 + 5 (истинно).
3. a + b делится на 3: 7 + 1 = 8 делится на 3.
4. a + 7b - простое число: 7 + 7 * 1 = 14, что не является простым числом (ложно).

Таким образом, (a, b) = (7, 1) является единственным решением данной задачи.