Question

Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 25, а один из катетов равен 15, вращается вокруг большего катета. Найдите площадь полной поверхности тела вращения.

Answer 1

Изучаемый прямоугольный треугольник имеет катеты $AB = 20$ и $BC = 15$ и гипотенузу $AC = 25$ (чертеж в приложении).

• При этом, третья сторона была вычислена по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 -15^2} = \sqrt{400} = 20$.

Из этого следует, что вращали треугольник вокруг катета, равного $20$ (это есть больший катет, $20 > 15$).

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, как известно, получается конус. В данном случае его высота равна $h = AB = 20$, радиус основания $r = BC = 15$ и образующая $l = AC = 25$.

Для вычисления полной поверхности конуса используем соответствующую формулу:

$S = \pi \cdot r \cdot (r + l)$

Подставляем известные значения:

$S = \pi \cdot 15 \cdot (15 + 25) = 600 \cdot \pi \approx 1884.95559$

Ответ: $600 \cdot \pi$ или около $1885$ (ед³).

Answer 2

Чтобы найти площадь поверхности тела вращения, нужно рассмотреть, как прямоугольный треугольник вращается вокруг одного из его катетов. В данном случае, больший катет, равный 15, будет осью вращения.

Площадь поверхности тела вращения можно найти с помощью интеграла от $2\pi y$ (где $y$ - функция, задающая высоту треугольника в зависимости от расстояния от оси вращения) на интервале от $0$ до длины оси вращения.

Первым шагом найдем уравнение второго катета треугольника, используя теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2,$ где $c$ - гипотенуза, $a$ и $b$ - катеты треугольника. $25^2 = 15^2 + b^2,$ $b^2 = 25^2 - 15^2,$ $b = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20.$

Таким образом, второй катет треугольника равен 20.

Теперь у нас есть катеты $a = 15$ и $b = 20$, а также гипотенуза $c = 25$. Теперь мы можем записать уравнение высоты треугольника $h$ (расстояния от большого катета до гипотенузы) в зависимости от $x$ (расстояния от точки на большом катете до начала):

$h = \frac{ab}{c},$ $h(x) = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12.$

Теперь мы готовы интегрировать для нахождения площади поверхности вращения:

$S = \int_{0}^{15} 2\pi y \, dx,$ $S = \int_{0}^{15} 2\pi \cdot 12 \, dx,$ $S = 24\pi \int_{0}^{15} dx,$ $S = 24\pi \cdot 15 = 360\pi.$

Итак, площадь полной поверхности тела вращения равна $360\pi$ квадратных единиц.