Question

Найдите первообразную функции f(x) = 5x4 - 6x2 + 1, проходящую через точку А(-1;2).

Answer 1

Ответ:

F(x)=x⁵-2x³+x +2

Решение:

1) Найдём первообразную

F(x)=x⁵-2x³+x +c , так как А(-1;2) , то F(-1)=2

(-1)⁵- 2 (-1)³+(-1)+c=2;

-1+2-1+c=2

c=2.

F(x)=x⁵-2x³+x +2

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 5x^4 - 6x^2 + 1$, проходящей через точку $A(-1, 2)$, мы должны найти такую функцию $F(x)$, производная которой будет равна $f(x)$. Затем, используя начальное условие $F(-1) = 2$, мы сможем найти конкретную первообразную.

Вычислим первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$:

$F(x) = \int (5x^4 - 6x^2 + 1) \, dx$

Разделим интеграл на сумму интегралов:

$F(x) = \int 5x^4 \, dx - \int 6x^2 \, dx + \int 1 \, dx$

Теперь возьмем интегралы каждого из слагаемых:

$\int 5x^4 \, dx = \frac{5}{5} \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$ $\int 6x^2 \, dx = \frac{6}{3} \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3$ $\int 1 \, dx = x$

Собираем всё вместе:

$F(x) = x^5 - 2x^3 + x + C$

Теперь применяем начальное условие $F(-1) = 2$, чтобы найти константу интегрирования $C$:

$F(-1) = (-1)^5 - 2(-1)^3 + (-1) + C = -1 + 2 - 1 + C = 0 + C = 2$

Отсюда получаем, что $C = 2$. Таким образом, первообразная функции $f(x)$, проходящей через точку $A(-1, 2)$, будет:

$F(x) = x^5 - 2x^3 + x + 2$