Question

Найти скорость и ускорение точки в момент времени t=2c, если она движется прямолинейно по закону x(t) =20t³+4t²-20. (x в метрах) ​

Answer 1

x(t)= 20t³+4t²-20.

x(t) — это расстояние S (т.к. измеряется в метрах)

Скорость - это первая производная от расстояния S.

v= S'= x '(t)= 60t²+8t.

В момент времени t=2 с, скорость будет равна v(2)= 60×2²+8×2= 240+16= 256 м/с.

Ускорение - вторая производная от S либо же первая производная от скорости. То есть:

a= S''= x ''(t)= v'= 120t+8.

В момент времени t=2 c, ускорение будет равно a(2)= 120×2+8= 248 м/с².

Ответ: v(2)= 256 м/с, а(2)= 248 м/с².

Answer 2

Для нахождения скорости и ускорения точки в момент времени $t = 2$ секунды, дано уравнение движения $x(t) = 20t^3 + 4t^2 - 20$ (где $x$ в метрах).

1. Сначала найдем скорость точки в момент времени $t = 2$ секунды. Скорость - это производная пути по времени ($v = \frac{{dx}}{{dt}}$).

Дифференцируем уравнение $x(t)$ по $t$: $v(t) = \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(20t^3 + 4t^2 - 20) = 60t^2 + 8t.$

Подставляем $t = 2$ секунды: $v(2) = 60 \cdot (2^2) + 8 \cdot 2 = 240 + 16 = 256 \, \text{м/с}.$

Скорость точки в момент времени $t = 2$ секунды равна $256$ метров в секунду.

2. Теперь найдем ускорение точки в момент времени $t = 2$ секунды. Ускорение - это производная скорости по времени ($a = \frac{{dv}}{{dt}}$).

Дифференцируем уравнение $v(t)$ по $t$: $a(t) = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(60t^2 + 8t) = 120t + 8.$

Подставляем $t = 2$ секунды: $a(2) = 120 \cdot 2 + 8 = 240 + 8 = 248 \, \text{м/с}^2.$

Ускорение точки в момент времени $t = 2$ секунды равно $248$ метров в секунду в квадрате.

Итак, в момент времени $t = 2$ секунды скорость точки составляет $256$ м/с, а ускорение составляет $248$ м/с².