Question

Определите при помощи производной промежутки возрастания и убывания функции f(х)=5+6x-х в квадрате

Answer 1

$f(x) = 5 + 6x - {x}^{2} \\ \frac{df}{dx} = 6 - 2x \\ 6 - 2x = 0 \\ 2x = 6 \\ x = 3$

Подставим в выражение производной числа, стоящие до точки 3 и после точки 3, например, –100 и 100, чтобы определить знаки этих интервалов.

Очевидно, до точки 3 производная положительна, значит, функция возрастает. После точки 3 производная отрицательна, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке (–∞ ; 3] и убывает на промежутке (3 ; +∞).

х = 3 – точка максимума функции.

Answer 2

Для определения интервалов возрастания и убывания функции f(x) = 5 + 6x - x^2 сначала найдем её производную и точки, в которых производная равна нулю или не существует. Затем анализируем знак производной на разных интервалах.

1. Найдем производную функции f(x): f(x) = 5 + 6x - x^2 f'(x) = d/dx (5 + 6x - x^2) = 6 - 2x

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: 6 - 2x = 0 2x = 6 x = 3

Теперь мы знаем, что производная меняет знак при x = 3.

3. Построим таблицу знаков производной в разных интервалах:

   Интервал	f'(x)	Тип интервала
   x < 3	+	Возрастание
   x > 3	-	Убывание

Итак, функция f(x) возрастает на интервале (-∞, 3) и убывает на интервале (3, +∞).